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Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Simplification d'écritures — série 1

Dans chaque question, simplifier l'expression demandée à l'aide des propriétés algébriques du logarithme et de l'exponentielle.

On pose $a = \ln 2$ , $b = \ln 3$ et $c = \ln 5$ . Exprimer $\ln\dfrac{45}{8}$ en fonction de $a$ , $b$ et $c$ .
Simplifier $\ln(\sqrt{3}+1) + \ln(\sqrt{3}-1)$ .
Pour $x > 1$ , simplifier $\ln(x^2-1) - \ln(x-1)$ .
Simplifier $e^{3\ln 2 - \ln 4}$ .
Pour tout réel $x$ , simplifier $\ln\left(e^{2x} \times e^{-x}\right)$ .

Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Simplification d'écritures — série 1

$45 = 3^2 \times 5$ et $8 = 2^3$ , donc $\ln\dfrac{45}{8} = 2\ln 3 + \ln 5 - 3\ln 2 = 2b + c - 3a$ .
$\ln(\sqrt3+1) + \ln(\sqrt3-1) = \ln\big((\sqrt3+1)(\sqrt3-1)\big) = \ln(3-1) = \ln 2$ .
Pour $x>1$ : $\ln(x^2-1) - \ln(x-1) = \ln\dfrac{x^2-1}{x-1} = \ln\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \ln(x+1)$ .
$e^{3\ln 2 - \ln 4} = \dfrac{e^{3\ln 2}}{e^{\ln 4}} = \dfrac{e^{\ln 8}}{e^{\ln 4}} = \dfrac{8}{4} = 2$ .
$e^{2x} \times e^{-x} = e^{x}$ donc $\ln\left(e^{2x} \times e^{-x}\right) = \ln(e^x) = x$ .