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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Simplification d'écritures — série 5

Dans chaque question, simplifier l'expression demandée à l'aide des propriétés algébriques du logarithme népérien.

Exprimer $\ln\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ en fonction de $\ln 3$ .
Écrire $\ln 48$ sous la forme $a\ln 2 + b\ln 3$ avec $a$ et $b$ entiers.
Écrire $\ln\dfrac{1}{12}$ sous la forme $a\ln 2 + b\ln 3$ avec $a$ et $b$ entiers.
Écrire $E = \ln 12 - \ln 3 + \ln 5 - \ln 10$ sous la forme $a\ln 2$ .
Simplifier $e^{-\ln 2}$ .

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Simplification d'écritures — série 5

$\ln\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\ln\sqrt{3} = -\dfrac12\ln 3$ .
$48 = 2^4 \times 3$ donc $\ln 48 = \ln\left(2^4 \times 3\right) = 4\ln 2 + \ln 3$ .
$\ln\dfrac{1}{12} = -\ln 12 = -\ln(2^2 \times 3) = -2\ln 2 - \ln 3$ .
$E = \ln\dfrac{12 \times 5}{3 \times 10} = \ln\dfrac{60}{30} = \ln 2$ , soit $E = 1 \times \ln 2$ .
$e^{-\ln 2} = e^{\ln(1/2)} = \dfrac12$ (car $-\ln 2 = \ln\dfrac12$ ).