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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Simplification d'écritures — série 4

Dans chaque question, simplifier l'expression demandée à l'aide des propriétés algébriques du logarithme népérien.

Exprimer $\ln\sqrt{32}$ en fonction de $\ln 2$ .
Écrire $\ln 36$ sous la forme $a\ln 2 + b\ln 3$ avec $a$ et $b$ entiers.
Écrire $\ln\dfrac{27}{16}$ sous la forme $a\ln 2 + b\ln 3$ avec $a$ et $b$ entiers.
Écrire $D = \ln 4 + \ln 9 - \ln 6$ sous la forme $a\ln 2 + b\ln 3$ avec $a$ et $b$ entiers.
Simplifier $e^{2\ln 3}$ .

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Simplification d'écritures — série 4

$\sqrt{32} = 32^{1/2}$ donc $\ln\sqrt{32} = \dfrac12\ln 32 = \dfrac12\ln(2^5) = \dfrac52\ln 2$ .
$36 = 2^2 \times 3^2$ donc $\ln 36 = \ln\left(2^2 \times 3^2\right) = 2\ln 2 + 2\ln 3$ .
$\ln\dfrac{27}{16} = \ln 27 - \ln 16 = 3\ln 3 - 4\ln 2 = -4\ln 2 + 3\ln 3$ .
$D = \ln\dfrac{4 \times 9}{6} = \ln 6 = \ln 2 + \ln 3$ .
$e^{2\ln 3} = e^{\ln(3^2)} = e^{\ln 9} = 9$ (car $e^{\ln a} = a$ pour $a > 0$ ).