Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 5

1. Domaine : $x>0$ et $x-5>0$, soit $x>5$.

   Sur ce domaine : $\ln\big(x(x-5)\big) \leq \ln 6 \iff x(x-5) \leq 6 \iff x^2 - 5x - 6 \leq 0 \iff (x-6)(x+1) \leq 0$.

   Le trinôme est du signe de $a=1>0$ entre ses racines : $-1 \leq x \leq 6$.

   En tenant compte du domaine $x>5$ : $\mathcal{S} = ]5\,;\,6]$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'inéquation devient $X^2 + 3X + 2 < 0$.

   Les racines de $X^2 + 3X + 2$ sont $-2$ et $-1$. Le trinôme a son signe cherché entre les racines (le trinôme est négatif), donc $-2 < X < -1$.

   On revient à $x$ : $-2<\ln x<-1 \iff e^{-2}<x<e^{-1}$. $\mathcal{S} = ]e^{-2}\,;\,e^{-1}[$

3. Domaine : $x^2-2x>0$, soit $x<0$ ou $x>2$.

   $\ln(x^2-2x)<\ln 3 \iff x^2-2x-3<0 \iff (x-3)(x+1)<0 \iff -1<x<3$.

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = ]-1\,;\,0[ \cup ]2\,;\,3[$

4. Domaine : $x+3>0$ et $2-x>0$, soit $-3<x<2$.

   $\ln(x+3)-\ln(2-x)<0 \iff x+3<2-x \iff 2x<-1 \iff x<-\dfrac12$.

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = ]-3\,;\,-\dfrac12[$

5. $0{,}7^n \leq 0{,}01 \iff n\ln 0{,}7 \leq \ln 0{,}01$ (croissance de $\ln$).

   Or $\ln 0{,}7<0$ car $0{,}7<1$ : en divisant par $\ln 0{,}7$, le sens de l'inégalité change :

   $n \geq \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}7} \approx 12{,}91$.

   Le plus petit entier naturel est donc $n = 13$.