Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 4

1. Domaine : $x>0$ et $x-2>0$, soit $x>2$.

   Sur ce domaine : $\ln\big(x(x-2)\big) < \ln 8 \iff x(x-2) < 8 \iff x^2 - 2x - 8 < 0 \iff (x-4)(x+2) < 0$.

   Le trinôme est du signe de $a=1>0$ entre ses racines : $-2 < x < 4$.

   En tenant compte du domaine $x>2$ : $\mathcal{S} = ]2\,;\,4[$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'inéquation devient $X^2 - 4X + 3 \geq 0$.

   Les racines de $X^2 - 4X + 3$ sont $1$ et $3$. Le trinôme a son signe cherché à l'extérieur des racines (le trinôme est positif ou nul), donc $X \leq 1$ ou $X \geq 3$.

   On revient à $x$ : $\ln x\leq1 \iff 0<x\leq e$ et $\ln x\geq3 \iff x\geq e^{3}$. $\mathcal{S} = ]0\,;\,e] \cup [e^{3}\,;\,+\infty[$

3. Domaine : $9-x^2>0$, soit $-3<x<3$.

   $\ln(9-x^2)\geq\ln 5 \iff 9-x^2\geq5 \iff x^2\leq4 \iff -2\leq x\leq2$.

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = [-2\,;\,2]$

4. Domaine : $4x-1>0$ et $x>0$, soit $x>\dfrac14$.

   $\ln(4x-1)-\ln x\geq\ln 3 \iff \dfrac{4x-1}{x}\geq 3 \iff 4x-1\geq 3x \iff x\geq 1$ (car $x>0$).

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = [1\,;\,+\infty[$

5. $0{,}95^n < 0{,}1 \iff n\ln 0{,}95 < \ln 0{,}1$ (croissance de $\ln$).

   Or $\ln 0{,}95<0$ car $0{,}95<1$ : en divisant par $\ln 0{,}95$, le sens de l'inégalité change :

   $n > \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}95} \approx 44{,}89$.

   Le plus petit entier naturel est donc $n = 45$.