Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 3

1. Domaine : $x>0$ et $x-3>0$, soit $x>3$.

   Sur ce domaine : $\ln\big(x(x-3)\big) \leq \ln 10 \iff x(x-3) \leq 10 \iff x^2 - 3x - 10 \leq 0 \iff (x-5)(x+2) \leq 0$.

   Le trinôme est du signe de $a=1>0$ entre ses racines : $-2 \leq x \leq 5$.

   En tenant compte du domaine $x>3$ : $\mathcal{S} = ]3\,;\,5]$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'inéquation devient $X^2 - X - 2 > 0$.

   Les racines de $X^2 - X - 2$ sont $-1$ et $2$. Le trinôme a son signe cherché à l'extérieur des racines (le trinôme est positif), donc $X<-1$ ou $X>2$.

   On revient à $x$ : $\ln x<-1 \iff 0<x<e^{-1}$ et $\ln x>2 \iff x>e^{2}$. $\mathcal{S} = ]0\,;\,e^{-1}[ \cup ]e^{2}\,;\,+\infty[$

3. Domaine : $x^2-x>0$, soit $x<0$ ou $x>1$.

   $\ln(x^2-x)>\ln 6 \iff x^2-x>6 \iff x^2-x-6>0 \iff (x-3)(x+2)>0 \iff x<-2$ ou $x>3$.

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-2[ \cup ]3\,;\,+\infty[$

4. Domaine : $x+5>0$ et $x-1>0$, soit $x>1$.

   $\ln(x+5)-\ln(x-1)<\ln 2 \iff \dfrac{x+5}{x-1}<2 \iff x+5<2(x-1) \iff x>7$ (car $x-1>0$).

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = ]7\,;\,+\infty[$

5. $0{,}9^n \leq 0{,}5 \iff n\ln 0{,}9 \leq \ln 0{,}5$ (croissance de $\ln$).

   Or $\ln 0{,}9<0$ car $0{,}9<1$ : en divisant par $\ln 0{,}9$, le sens de l'inégalité change :

   $n \geq \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9} \approx 6{,}58$.

   Le plus petit entier naturel est donc $n = 7$.