Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 2

1. Domaine : $x>0$ et $x-3>0$, soit $x>3$.

   Sur ce domaine : $\ln\big(x(x-3)\big) < \ln 4 \iff x(x-3) < 4 \iff x^2 - 3x - 4 < 0 \iff (x-4)(x+1) < 0$.

   Le trinôme est du signe de $a=1>0$ entre ses racines : $-1 < x < 4$.

   En tenant compte du domaine $x>3$ : $\mathcal{S} = ]3\,;\,4[$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'inéquation devient $X^2 - 3X \leq 0$.

   Les racines de $X^2 - 3X$ sont $0$ et $3$. Le trinôme a son signe cherché entre les racines (le trinôme est négatif ou nul), donc $0 \leq X \leq 3$.

   On revient à $x$ : $0\leq\ln x\leq3 \iff 1\leq x\leq e^{3}$. $\mathcal{S} = [1\,;\,e^{3}]$

3. Domaine : $x^2-4>0$, soit $x<-2$ ou $x>2$.

   $\ln(x^2-4)\leq\ln 5 \iff x^2-4\leq5 \iff x^2\leq9 \iff -3\leq x\leq3$.

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = [-3\,;\,-2[ \cup ]2\,;\,3]$

4. Domaine : $3x+1>0$ et $x+2>0$, soit $x>-\dfrac13$.

   $\ln(3x+1)-\ln(x+2)\leq\ln 2 \iff \dfrac{3x+1}{x+2}\leq 2 \iff 3x+1\leq 2x+4 \iff x\leq 3$ (car $x+2>0$).

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = ]-\dfrac13\,;\,3]$

5. $0{,}5^n < 0{,}001 \iff n\ln 0{,}5 < \ln 0{,}001$ (croissance de $\ln$).

   Or $\ln 0{,}5<0$ car $0{,}5<1$ : en divisant par $\ln 0{,}5$, le sens de l'inégalité change :

   $n > \dfrac{\ln 0{,}001}{\ln 0{,}5} \approx 9{,}97$.

   Le plus petit entier naturel est donc $n = 10$.