Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 1

1. Domaine : $x>0$ et $x-2>0$, soit $x>2$.

   Sur ce domaine : $\ln\big(x(x-2)\big) \leq \ln 3 \iff x(x-2) \leq 3 \iff x^2 - 2x - 3 \leq 0 \iff (x-3)(x+1) \leq 0$.

   Le trinôme est du signe de $a=1>0$ entre ses racines : $-1 \leq x \leq 3$.

   En tenant compte du domaine $x>2$ : $\mathcal{S} = ]2\,;\,3]$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'inéquation devient $X^2 - 3X + 2 < 0$.

   Les racines de $X^2 - 3X + 2$ sont $1$ et $2$. Le trinôme a son signe cherché entre les racines (le trinôme est négatif), donc $1 < X < 2$.

   On revient à $x$ : $1<\ln x<2 \iff e<x<e^{2}$. $\mathcal{S} = ]e\,;\,e^{2}[$

3. Domaine : $x^2-1>0$, soit $x<-1$ ou $x>1$.

   $\ln(x^2-1)<\ln 3 \iff x^2-1<3 \iff x^2<4 \iff -2<x<2$.

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = ]-2\,;\,-1[ \cup ]1\,;\,2[$

4. Domaine : $2x-1>0$ et $x+1>0$, soit $x>\dfrac12$.

   $\ln(2x-1)-\ln(x+1)>0 \iff \ln\dfrac{2x-1}{x+1}>\ln 1 \iff 2x-1>x+1 \iff x>2$.

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = ]2\,;\,+\infty[$

5. $0{,}8^n \leq 0{,}05 \iff n\ln 0{,}8 \leq \ln 0{,}05$ (croissance de $\ln$).

   Or $\ln 0{,}8<0$ car $0{,}8<1$ : en divisant par $\ln 0{,}8$, le sens de l'inégalité change :

   $n \geq \dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}8} \approx 13{,}43$.

   Le plus petit entier naturel est donc $n = 14$.