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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'inéquations — série 5

Résoudre chacune des inéquations suivantes. Préciser le domaine de validité quand c'est nécessaire.

  1. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡x>−2\ln x > -2.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(2x+1)>1\ln(2x+1) > 1.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(5x)<ln⁡(x+8)\ln(5x) < \ln(x+8).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation e3x−1<7e^{3x-1} < 7.

  5. Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que 1,1n≥21{,}1^n \geq 2.

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 5

  1. Domaine : x>0x>0.

    ln⁡x>−2  ⟺  x>e−2\ln x > -2 \iff x > e^{-2} ; cette condition entraîne déjà x>0x>0. Donc S=]e−2 ; +∞[\mathcal{S} = ]e^{-2}\,;\,+\infty[

  2. Domaine : 2x+1>0  ⟺  x>−122x+1>0 \iff x>-\dfrac12.

    ln⁡(2x+1)>1  ⟺  2x+1>e  ⟺  x>e−12\ln(2x+1) > 1 \iff 2x+1 > e \iff x > \dfrac{e-1}{2}.

    En tenant compte du domaine : S=]e−12 ; +∞[\mathcal{S} = ]\dfrac{e-1}{2}\,;\,+\infty[

  3. Domaine : 5x>05x>0 et x+8>0x+8>0, soit x>0x>0.

    Sur le domaine, ln⁡(5x)<ln⁡(x+8)  ⟺  5x<x+8  ⟺  x<2\ln(5x) < \ln(x+8) \iff 5x < x+8 \iff x < 2.

    On conclut : S=]0 ; 2[\mathcal{S} = ]0\,;\,2[

  4. e3x−1<7  ⟺  3x−1<ln⁡7  ⟺  x<1+ln⁡73e^{3x-1} < 7 \iff 3x-1 < \ln 7 \iff x < \dfrac{1+\ln 7}{3}. S=]−∞ ; 1+ln⁡73[\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,\dfrac{1+\ln 7}{3}[

  5. 1,1n≥2  ⟺  nln⁡1,1≥ln⁡2  ⟺  n≥ln⁡2ln⁡1,11{,}1^n \geq 2 \iff n\ln 1{,}1 \geq \ln 2 \iff n \geq \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}1} (on divise par ln⁡1,1>0\ln 1{,}1>0 : le sens est conservé).

    Or ln⁡2ln⁡1,1≈7,27\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}1} \approx 7{,}27. Le plus petit entier naturel est donc n=8n = 8.