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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'inéquations — série 4

Résoudre chacune des inéquations suivantes. Préciser le domaine de validité quand c'est nécessaire.

  1. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡x≥3\ln x \geq 3.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(5−x)≥0\ln(5-x) \geq 0.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(4−x)≥ln⁡(2x+1)\ln(4-x) \geq \ln(2x+1).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ex+1≥4e^{x+1} \geq 4.

  5. Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que 5n>10 0005^n > 10\,000.

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 4

  1. Domaine : x>0x>0.

    ln⁡x≥3  ⟺  x≥e3\ln x \geq 3 \iff x \geq e^3 ; cette condition entraîne déjà x>0x>0. Donc S=[e3 ; +∞[\mathcal{S} = [e^{3}\,;\,+\infty[

  2. Domaine : 5−x>0  ⟺  x<55-x>0 \iff x<5.

    ln⁡(5−x)≥0  ⟺  5−x≥1  ⟺  x≤4\ln(5-x) \geq 0 \iff 5-x \geq 1 \iff x \leq 4.

    En tenant compte du domaine : S=]−∞ ; 4]\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,4]

  3. Domaine : 4−x>04-x>0 et 2x+1>02x+1>0, soit −12<x<4-\dfrac12<x<4.

    Sur le domaine, ln⁡(4−x)≥ln⁡(2x+1)  ⟺  4−x≥2x+1  ⟺  x≤1\ln(4-x) \geq \ln(2x+1) \iff 4-x \geq 2x+1 \iff x \leq 1.

    On conclut : S=]−12 ; 1]\mathcal{S} = ]-\dfrac12\,;\,1]

  4. ex+1≥4  ⟺  x+1≥ln⁡4  ⟺  x≥ln⁡4−1e^{x+1} \geq 4 \iff x+1 \geq \ln 4 \iff x \geq \ln 4 - 1. S=[ln⁡4−1 ; +∞[\mathcal{S} = [\ln 4 - 1\,;\,+\infty[

  5. 5n>10 000  ⟺  nln⁡5>ln⁡10 000  ⟺  n>ln⁡10 000ln⁡55^n > 10\,000 \iff n\ln 5 > \ln 10\,000 \iff n > \dfrac{\ln 10\,000}{\ln 5} (on divise par ln⁡5>0\ln 5>0 : le sens est conservé).

    Or ln⁡10 000ln⁡5≈5,72\dfrac{\ln 10\,000}{\ln 5} \approx 5{,}72. Le plus petit entier naturel est donc n=6n = 6.