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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'inéquations — série 3

Résoudre chacune des inéquations suivantes. Préciser le domaine de validité quand c'est nécessaire.

  1. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡x<0\ln x < 0.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(x−3)<1\ln(x-3) < 1.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(x+4)<ln⁡(2x−1)\ln(x+4) < \ln(2x-1).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation e−x<2e^{-x} < 2.

  5. Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que 3n≥5003^n \geq 500.

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 3

  1. Domaine : x>0x>0.

    ln⁡x<0  ⟺  x<e0=1\ln x < 0 \iff x < e^0 = 1 ; avec x>0x>0 on obtient 0<x<10<x<1. Donc S=]0 ; 1[\mathcal{S} = ]0\,;\,1[

  2. Domaine : x−3>0  ⟺  x>3x-3>0 \iff x>3.

    ln⁡(x−3)<1  ⟺  x−3<e  ⟺  x<3+e\ln(x-3) < 1 \iff x-3 < e \iff x < 3+e.

    En tenant compte du domaine : S=]3 ; 3+e[\mathcal{S} = ]3\,;\,3+e[

  3. Domaine : x+4>0x+4>0 et 2x−1>02x-1>0, soit x>12x>\dfrac12.

    Sur le domaine, ln⁡(x+4)<ln⁡(2x−1)  ⟺  x+4<2x−1  ⟺  x>5\ln(x+4) < \ln(2x-1) \iff x+4 < 2x-1 \iff x > 5.

    On conclut : S=]5 ; +∞[\mathcal{S} = ]5\,;\,+\infty[

  4. e−x<2  ⟺  −x<ln⁡2  ⟺  x>−ln⁡2e^{-x} < 2 \iff -x < \ln 2 \iff x > -\ln 2 (on multiplie par −1-1 : le sens change). S=]−ln⁡2 ; +∞[\mathcal{S} = ]-\ln 2\,;\,+\infty[

  5. 3n≥500  ⟺  nln⁡3≥ln⁡500  ⟺  n≥ln⁡500ln⁡33^n \geq 500 \iff n\ln 3 \geq \ln 500 \iff n \geq \dfrac{\ln 500}{\ln 3} (on divise par ln⁡3>0\ln 3>0 : le sens est conservé).

    Or ln⁡500ln⁡3≈5,66\dfrac{\ln 500}{\ln 3} \approx 5{,}66. Le plus petit entier naturel est donc n=6n = 6.