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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'inéquations — série 2

Résoudre chacune des inéquations suivantes. Préciser le domaine de validité quand c'est nécessaire.

  1. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡x≤−1\ln x \leq -1.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(3x+2)≤0\ln(3x+2) \leq 0.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation ln⁡(3x−1)≤ln⁡(x+7)\ln(3x-1) \leq \ln(x+7).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation e2x≤3e^{2x} \leq 3.

  5. Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que 1,5n>1001{,}5^n > 100.

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 2

  1. Domaine : x>0x>0.

    ln⁡x≤−1  ⟺  x≤e−1\ln x \leq -1 \iff x \leq e^{-1} ; avec x>0x>0 on obtient 0<x≤e−10<x\leq e^{-1}. Donc S=]0 ; e−1]\mathcal{S} = ]0\,;\,e^{-1}]

  2. Domaine : 3x+2>0  ⟺  x>−233x+2>0 \iff x>-\dfrac23.

    ln⁡(3x+2)≤0  ⟺  3x+2≤1  ⟺  x≤−13\ln(3x+2) \leq 0 \iff 3x+2 \leq 1 \iff x \leq -\dfrac13.

    En tenant compte du domaine : S=]−23 ; −13]\mathcal{S} = ]-\dfrac23\,;\,-\dfrac13]

  3. Domaine : 3x−1>03x-1>0 et x+7>0x+7>0, soit x>13x>\dfrac13.

    Sur le domaine, ln⁡(3x−1)≤ln⁡(x+7)  ⟺  3x−1≤x+7  ⟺  x≤4\ln(3x-1) \leq \ln(x+7) \iff 3x-1 \leq x+7 \iff x \leq 4.

    On conclut : S=]13 ; 4]\mathcal{S} = ]\dfrac13\,;\,4]

  4. e2x≤3  ⟺  2x≤ln⁡3  ⟺  x≤ln⁡32e^{2x} \leq 3 \iff 2x \leq \ln 3 \iff x \leq \dfrac{\ln 3}{2}. S=]−∞ ; ln⁡32]\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,\dfrac{\ln 3}{2}]

  5. 1,5n>100  ⟺  nln⁡1,5>ln⁡100  ⟺  n>ln⁡100ln⁡1,51{,}5^n > 100 \iff n\ln 1{,}5 > \ln 100 \iff n > \dfrac{\ln 100}{\ln 1{,}5} (on divise par ln⁡1,5>0\ln 1{,}5>0 : le sens est conservé).

    Or ln⁡100ln⁡1,5≈11,36\dfrac{\ln 100}{\ln 1{,}5} \approx 11{,}36. Le plus petit entier naturel est donc n=12n = 12.