Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'inéquations — série 1

1. Domaine : $x>0$.

   $\ln x > 2 \iff x > e^2$ ; avec $x>0$, la condition $x>e^2$ suffit. Donc $\mathcal{S} = ]e^{2}\,;\,+\infty[$

2. Domaine : $2x-1>0 \iff x>\dfrac12$.

   $\ln(2x-1) > 0 \iff 2x-1 > 1 \iff x > 1$.

   En tenant compte du domaine : $\mathcal{S} = ]1\,;\,+\infty[$

3. Domaine : $2x+3>0$ et $x+5>0$, soit $x>-\dfrac32$.

   Sur le domaine, $\ln(2x+3) > \ln(x+5) \iff 2x+3 > x+5 \iff x > 2$ (et $2>-\frac32$).

   On conclut : $\mathcal{S} = ]2\,;\,+\infty[$

4. $e^x > 5 \iff x > \ln 5$. $\mathcal{S} = ]\ln 5\,;\,+\infty[$

5. $2^n \geq 1000 \iff n\ln 2 \geq \ln 1000 \iff n \geq \dfrac{\ln 1000}{\ln 2}$ (on divise par $\ln 2>0$ : le sens est conservé).

   Or $\dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$. Le plus petit entier naturel est donc $n = 10$.