Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 5

1. Domaine : $x>0$ et $x-5>0$, soit $x>5$.

   Sur ce domaine : $\ln x + \ln(x-5) = \ln 6 \iff \ln\big(x(x-5)\big) = \ln 6 \iff x^2 - 5x - 6 = 0$.

   $\Delta = 5^2 + 4\times 6 = 49$ donc $x_1 = \dfrac{5 - 7}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$.

   Seul $6$ appartient à $]5\,;\,+\infty[$ ; $-1$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{6\}$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'équation devient $X^2 + 3X + 2 = 0$.

   $\Delta = 3^2 - 4\times(2) = 1$ donc $X_1 = -2$ et $X_2 = -1$.

   On revient à $x$ : $\ln x = -2 \iff x = e^{-2}$ et $\ln x = -1 \iff x = e^{-1}$. Les deux valeurs sont strictement positives. $\mathcal{S} = \{e^{-2}\,;\,e^{-1}\}$

3. Domaine : $x-2>0$ et $x+2>0$, soit $x>2$.

   Sur ce domaine : $\ln\big((x-2)(x+2)\big) = \ln 5 \iff x^2 - 4 = 5 \iff x^2 = 9 \iff x=3 \text{ ou } x=-3$.

   Seul $3$ appartient à $]2\,;\,+\infty[$ ; $-3$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{3\}$

4. Domaine : $2x-3>0$ et $x-1>0$, soit $x>\dfrac32$.

   Sur ce domaine : $\ln(2x-3) - \ln(x-1) = \ln 3 \iff \ln\dfrac{2x-3}{x-1} = \ln 3 \iff \dfrac{2x-3}{x-1} = 3 \iff 2x-3 = 3(x-1)$.

   On obtient $2x-3 = 3(x-1) \iff 2x-3 = 3x-3 \iff -x = 0 \iff x = 0$. Or cette valeur n'appartient pas au domaine : elle est rejetée. $\mathcal{S} = \varnothing$

5. On pose $X = e^x$ (avec $X>0$) : l'équation devient $X^2 - 7X + 12 = 0$.

   $\Delta = 7^2 - 4\times 12 = 1$ donc $X_1 = 3$ et $X_2 = 4$, deux valeurs strictement positives.

   $e^x = 3 \iff x = \ln 3$ et $e^x = 4 \iff x = \ln 4$. $\mathcal{S} = \{\ln 3\,;\,\ln 4\}$