Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 4

1. Domaine : $x>0$ et $x-2>0$, soit $x>2$.

   Sur ce domaine : $\ln x + \ln(x-2) = \ln 8 \iff \ln\big(x(x-2)\big) = \ln 8 \iff x^2 - 2x - 8 = 0$.

   $\Delta = 2^2 + 4\times 8 = 36$ donc $x_1 = \dfrac{2 - 6}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{2 + 6}{2} = 4$.

   Seul $4$ appartient à $]2\,;\,+\infty[$ ; $-2$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{4\}$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'équation devient $X^2 - 4X + 3 = 0$.

   $\Delta = 4^2 - 4\times(3) = 4$ donc $X_1 = 1$ et $X_2 = 3$.

   On revient à $x$ : $\ln x = 1 \iff x = e$ et $\ln x = 3 \iff x = e^{3}$. Les deux valeurs sont strictement positives. $\mathcal{S} = \{e\,;\,e^{3}\}$

3. Domaine : $x-1>0$ et $x+1>0$, soit $x>1$.

   Sur ce domaine : $\ln\big((x-1)(x+1)\big) = \ln 8 \iff x^2 - 1 = 8 \iff x^2 = 9 \iff x=3 \text{ ou } x=-3$.

   Seul $3$ appartient à $]1\,;\,+\infty[$ ; $-3$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{3\}$

4. Domaine : $5x+3>0$ et $x+1>0$, soit $x>-\dfrac35$.

   Sur ce domaine : $\ln(5x+3) - \ln(x+1) = \ln 4 \iff \ln\dfrac{5x+3}{x+1} = \ln 4 \iff \dfrac{5x+3}{x+1} = 4 \iff 5x+3 = 4(x+1)$.

   On obtient $5x+3 = 4(x+1) \iff 5x+3 = 4x+4 \iff x = 1 \iff x = 1$. Cette valeur appartient au domaine. $\mathcal{S} = \{1\}$

5. On pose $X = e^x$ (avec $X>0$) : l'équation devient $X^2 - 6X + 5 = 0$.

   $\Delta = 6^2 - 4\times 5 = 16$ donc $X_1 = 1$ et $X_2 = 5$, deux valeurs strictement positives.

   $e^x = 1 \iff x = 0$ et $e^x = 5 \iff x = \ln 5$. $\mathcal{S} = \{0\,;\,\ln 5\}$