Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 3

1. Domaine : $x>0$ et $x-3>0$, soit $x>3$.

   Sur ce domaine : $\ln x + \ln(x-3) = \ln 10 \iff \ln\big(x(x-3)\big) = \ln 10 \iff x^2 - 3x - 10 = 0$.

   $\Delta = 3^2 + 4\times 10 = 49$ donc $x_1 = \dfrac{3 - 7}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{3 + 7}{2} = 5$.

   Seul $5$ appartient à $]3\,;\,+\infty[$ ; $-2$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{5\}$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'équation devient $X^2 - X - 2 = 0$.

   $\Delta = 1^2 - 4\times(-2) = 9$ donc $X_1 = -1$ et $X_2 = 2$.

   On revient à $x$ : $\ln x = -1 \iff x = e^{-1}$ et $\ln x = 2 \iff x = e^{2}$. Les deux valeurs sont strictement positives. $\mathcal{S} = \{e^{-1}\,;\,e^{2}\}$

3. Domaine : $x>0$ et $x+2>0$, soit $x>0$.

   Pour $x>0$ : $2\ln x = \ln(x^2)$, donc l'équation équivaut à $\ln(x^2) = \ln(x+2) \iff x^2 = x+2 \iff x^2 - x - 2 = 0$.

   $\Delta = 1 + 4\times 2 = 9$ donc $x = \dfrac{1-3}{2} = -1$ ou $x = \dfrac{1+3}{2} = 2$.

   Seul $2$ est strictement positif ; $-1$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{2\}$

4. Domaine : $4x+1>0$ et $x+2>0$, soit $x>-\dfrac14$.

   Sur ce domaine : $\ln(4x+1) - \ln(x+2) = \ln 3 \iff \ln\dfrac{4x+1}{x+2} = \ln 3 \iff \dfrac{4x+1}{x+2} = 3 \iff 4x+1 = 3(x+2)$.

   On obtient $4x+1 = 3(x+2) \iff 4x+1 = 3x+6 \iff x = 5 \iff x = 5$. Cette valeur appartient au domaine. $\mathcal{S} = \{5\}$

5. On pose $X = e^x$ (avec $X>0$) : l'équation devient $X^2 - 4X + 3 = 0$.

   $\Delta = 4^2 - 4\times 3 = 4$ donc $X_1 = 1$ et $X_2 = 3$, deux valeurs strictement positives.

   $e^x = 1 \iff x = 0$ et $e^x = 3 \iff x = \ln 3$. $\mathcal{S} = \{0\,;\,\ln 3\}$