Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 2

1. Domaine : $x>0$ et $x-3>0$, soit $x>3$.

   Sur ce domaine : $\ln x + \ln(x-3) = \ln 4 \iff \ln\big(x(x-3)\big) = \ln 4 \iff x^2 - 3x - 4 = 0$.

   $\Delta = 3^2 + 4\times 4 = 25$ donc $x_1 = \dfrac{3 - 5}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4$.

   Seul $4$ appartient à $]3\,;\,+\infty[$ ; $-1$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{4\}$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'équation devient $X^2 - 3X = 0$.

   $\Delta = 3^2 - 4\times(0) = 9$ donc $X_1 = 0$ et $X_2 = 3$.

   On revient à $x$ : $\ln x = 0 \iff x = 1$ et $\ln x = 3 \iff x = e^{3}$. Les deux valeurs sont strictement positives. $\mathcal{S} = \{1\,;\,e^{3}\}$

3. Domaine : $x>0$ et $x+12>0$, soit $x>0$.

   Pour $x>0$ : $2\ln x = \ln(x^2)$, donc l'équation équivaut à $\ln(x^2) = \ln(x+12) \iff x^2 = x+12 \iff x^2 - x - 12 = 0$.

   $\Delta = 1 + 4\times 12 = 49$ donc $x = \dfrac{1-7}{2} = -3$ ou $x = \dfrac{1+7}{2} = 4$.

   Seul $4$ est strictement positif ; $-3$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{4\}$

4. Domaine : $3x-2>0$ et $x>0$, soit $x>\dfrac23$.

   Sur ce domaine : $\ln(3x-2) - \ln x = \ln 2 \iff \ln\dfrac{3x-2}{x} = \ln 2 \iff \dfrac{3x-2}{x} = 2 \iff 3x-2 = 2x$.

   On obtient $3x-2 = 2x \iff 3x-2 = 2x \iff x = 2 \iff x = 2$. Cette valeur appartient au domaine. $\mathcal{S} = \{2\}$

5. On pose $X = e^x$ (avec $X>0$) : l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$.

   $\Delta = 3^2 - 4\times 2 = 1$ donc $X_1 = 1$ et $X_2 = 2$, deux valeurs strictement positives.

   $e^x = 1 \iff x = 0$ et $e^x = 2 \iff x = \ln 2$. $\mathcal{S} = \{0\,;\,\ln 2\}$