Niveau 2 — Fonction logarithme — 20 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 1

1. Domaine : $x>0$ et $x-2>0$, soit $x>2$.

   Sur ce domaine : $\ln x + \ln(x-2) = \ln 3 \iff \ln\big(x(x-2)\big) = \ln 3 \iff x^2 - 2x - 3 = 0$.

   $\Delta = 2^2 + 4\times 3 = 16$ donc $x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$.

   Seul $3$ appartient à $]2\,;\,+\infty[$ ; $-1$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{3\}$

2. Domaine : $x>0$. On pose $X = \ln x$ : l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$.

   $\Delta = 3^2 - 4\times(2) = 1$ donc $X_1 = 1$ et $X_2 = 2$.

   On revient à $x$ : $\ln x = 1 \iff x = e$ et $\ln x = 2 \iff x = e^{2}$. Les deux valeurs sont strictement positives. $\mathcal{S} = \{e\,;\,e^{2}\}$

3. Domaine : $x>0$ et $x+6>0$, soit $x>0$.

   Pour $x>0$ : $2\ln x = \ln(x^2)$, donc l'équation équivaut à $\ln(x^2) = \ln(x+6) \iff x^2 = x+6 \iff x^2 - x - 6 = 0$.

   $\Delta = 1 + 4\times 6 = 25$ donc $x = \dfrac{1-5}{2} = -2$ ou $x = \dfrac{1+5}{2} = 3$.

   Seul $3$ est strictement positif ; $-2$ est rejetée. $\mathcal{S} = \{3\}$

4. Domaine : $2x+1>0$ et $x-1>0$, soit $x>1$.

   Sur ce domaine : $\ln(2x+1) - \ln(x-1) = \ln 3 \iff \ln\dfrac{2x+1}{x-1} = \ln 3 \iff \dfrac{2x+1}{x-1} = 3 \iff 2x+1 = 3(x-1)$.

   On obtient $2x+1 = 3(x-1) \iff 2x+1 = 3x-3 \iff -x = -4 \iff x = 4$. Cette valeur appartient au domaine. $\mathcal{S} = \{4\}$

5. On pose $X = e^x$ (avec $X>0$) : l'équation devient $X^2 - 5X + 6 = 0$.

   $\Delta = 5^2 - 4\times 6 = 1$ donc $X_1 = 2$ et $X_2 = 3$, deux valeurs strictement positives.

   $e^x = 2 \iff x = \ln 2$ et $e^x = 3 \iff x = \ln 3$. $\mathcal{S} = \{\ln 2\,;\,\ln 3\}$