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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'équations — série 5

Résoudre chacune des équations suivantes en précisant, quand c'est nécessaire, le domaine de validité.

  1. Résoudre dans ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ l'équation ln⁡x=−3\ln x = -3.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(5−x)=0\ln(5-x) = 0.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(5x)=ln⁡(x+8)\ln(5x) = \ln(x+8).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e3x−1=7e^{3x-1} = 7.

  5. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(2x)=ln⁡(6−x)\ln(2x) = \ln(6-x).

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 5

  1. Pour x>0x>0 : ln⁡x=−3  ⟺  x=e−3\ln x = -3 \iff x = e^{-3}. Ainsi S={e−3}\mathcal{S} = \{e^{-3}\}.

  2. Domaine : 5−x>0  ⟺  x<55-x>0 \iff x<5.

    ln⁡(5−x)=0  ⟺  5−x=1  ⟺  x=4\ln(5-x)=0 \iff 5-x=1 \iff x=4, et 4<54<5 convient. S={4}\mathcal{S} = \{4\}

  3. Domaine : 5x>05x>0 et x+8>0x+8>0, soit x>0x>0.

    Sur ce domaine : ln⁡(5x)=ln⁡(x+8)  ⟺  5x=x+8  ⟺  x=2\ln(5x) = \ln(x+8) \iff 5x = x+8 \iff x=2. Cette valeur appartient au domaine. S={2}\mathcal{S} = \{2\}

  4. e3x−1=7  ⟺  3x−1=ln⁡7  ⟺  x=1+ln⁡73e^{3x-1} = 7 \iff 3x-1 = \ln 7 \iff x = \dfrac{1+\ln 7}{3}. S={1+ln⁡73}\mathcal{S} = \left\{\dfrac{1+\ln 7}{3}\right\}

  5. Domaine : 2x>02x>0 et 6−x>06-x>0, soit 0<x<60<x<6.

    2x=6−x  ⟺  3x=6  ⟺  x=22x = 6-x \iff 3x = 6 \iff x = 2, et 2∈]0 ; 6[2\in]0\,;\,6[ convient. S={2}\mathcal{S} = \{2\}