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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'équations — série 4

Résoudre chacune des équations suivantes en précisant, quand c'est nécessaire, le domaine de validité.

  1. Résoudre dans ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ l'équation ln⁡x=3\ln x = 3.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(2x+1)=2\ln(2x+1) = 2.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(4−x)=ln⁡(2x+1)\ln(4-x) = \ln(2x+1).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e−x=2e^{-x} = 2.

  5. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(3−x)=ln⁡(x+1)\ln(3-x) = \ln(x+1).

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 4

  1. Pour x>0x>0 : ln⁡x=3  ⟺  x=e3\ln x = 3 \iff x = e^{3}. Ainsi S={e3}\mathcal{S} = \{e^{3}\}.

  2. Domaine : 2x+1>0  ⟺  x>−122x+1>0 \iff x>-\dfrac12.

    ln⁡(2x+1)=2  ⟺  2x+1=e2  ⟺  x=e2−12\ln(2x+1)=2 \iff 2x+1=e^2 \iff x=\dfrac{e^2-1}{2}, et ce réel est bien supérieur à −12-\dfrac12. S={e2−12}\mathcal{S} = \left\{\dfrac{e^2-1}{2}\right\}

  3. Domaine : 4−x>04-x>0 et 2x+1>02x+1>0, soit −12<x<4-\dfrac12<x<4.

    Sur ce domaine : ln⁡(4−x)=ln⁡(2x+1)  ⟺  4−x=2x+1  ⟺  x=1\ln(4-x) = \ln(2x+1) \iff 4-x = 2x+1 \iff x=1. Cette valeur appartient au domaine. S={1}\mathcal{S} = \{1\}

  4. e−x=2  ⟺  −x=ln⁡2  ⟺  x=−ln⁡2e^{-x} = 2 \iff -x = \ln 2 \iff x = -\ln 2. S={−ln⁡2}\mathcal{S} = \{-\ln 2\}

  5. Domaine : 3−x>03-x>0 et x+1>0x+1>0, soit −1<x<3-1<x<3.

    3−x=x+1  ⟺  2=2x  ⟺  x=13-x = x+1 \iff 2 = 2x \iff x = 1, et 1∈]−1 ; 3[1\in]-1\,;\,3[ convient. S={1}\mathcal{S} = \{1\}