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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'équations — série 3

Résoudre chacune des équations suivantes en précisant, quand c'est nécessaire, le domaine de validité.

  1. Résoudre dans ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ l'équation ln⁡x=0\ln x = 0.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(x−3)=1\ln(x-3) = 1.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(x+4)=ln⁡(2x−1)\ln(x+4) = \ln(2x-1).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ex+1=4e^{x+1} = 4.

  5. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(x−5)=ln⁡(2x−3)\ln(x-5) = \ln(2x-3).

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 3

  1. Pour x>0x>0 : ln⁡x=0  ⟺  x=e0\ln x = 0 \iff x = e^{0}. Ainsi S={1}\mathcal{S} = \{1\}.

  2. Domaine : x−3>0  ⟺  x>3x-3>0 \iff x>3.

    ln⁡(x−3)=1  ⟺  x−3=e  ⟺  x=3+e\ln(x-3)=1 \iff x-3=e \iff x=3+e, et 3+e>33+e>3 convient. S={3+e}\mathcal{S} = \{3+e\}

  3. Domaine : x+4>0x+4>0 et 2x−1>02x-1>0, soit x>12x>\dfrac12.

    Sur ce domaine : ln⁡(x+4)=ln⁡(2x−1)  ⟺  x+4=2x−1  ⟺  x=5\ln(x+4) = \ln(2x-1) \iff x+4 = 2x-1 \iff x=5. Cette valeur appartient au domaine. S={5}\mathcal{S} = \{5\}

  4. ex+1=4  ⟺  x+1=ln⁡4  ⟺  x=ln⁡4−1e^{x+1} = 4 \iff x+1 = \ln 4 \iff x = \ln 4 - 1. S={ln⁡4−1}\mathcal{S} = \{\ln 4 - 1\}

  5. Domaine : x−5>0x-5>0 et 2x−3>02x-3>0, soit x>5x>5.

    x−5=2x−3  ⟺  x=−2x-5 = 2x-3 \iff x = -2, mais −2∉]5 ; +∞[-2\notin]5\,;\,+\infty[ : cette valeur est rejetée, l'équation n'a pas de solution. S=∅\mathcal{S} = \varnothing