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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'équations — série 2

Résoudre chacune des équations suivantes en précisant, quand c'est nécessaire, le domaine de validité.

  1. Résoudre dans ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ l'équation ln⁡x=−1\ln x = -1.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(3x+2)=0\ln(3x+2) = 0.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(3x−1)=ln⁡(x+7)\ln(3x-1) = \ln(x+7).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e2x=3e^{2x} = 3.

  5. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(x+3)=ln⁡(x−1)\ln(x+3) = \ln(x-1).

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 2

  1. Pour x>0x>0 : ln⁡x=−1  ⟺  x=e−1\ln x = -1 \iff x = e^{-1}. Ainsi S={e−1}\mathcal{S} = \{e^{-1}\}.

  2. Domaine : 3x+2>0  ⟺  x>−233x+2>0 \iff x>-\dfrac23.

    ln⁡(3x+2)=0  ⟺  3x+2=1  ⟺  x=−13\ln(3x+2)=0 \iff 3x+2=1 \iff x=-\dfrac13, et −13>−23-\dfrac13>-\dfrac23 convient. S={−13}\mathcal{S} = \left\{-\dfrac13\right\}

  3. Domaine : 3x−1>03x-1>0 et x+7>0x+7>0, soit x>13x>\dfrac13.

    Sur ce domaine : ln⁡(3x−1)=ln⁡(x+7)  ⟺  3x−1=x+7  ⟺  x=4\ln(3x-1) = \ln(x+7) \iff 3x-1 = x+7 \iff x=4. Cette valeur appartient au domaine. S={4}\mathcal{S} = \{4\}

  4. e2x=3  ⟺  2x=ln⁡3  ⟺  x=ln⁡32e^{2x} = 3 \iff 2x = \ln 3 \iff x = \dfrac{\ln 3}{2}. S={ln⁡32}\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\ln 3}{2}\right\}

  5. Domaine : x+3>0x+3>0 et x−1>0x-1>0, soit x>1x>1.

    x+3=x−1  ⟺  3=−1x+3 = x-1 \iff 3 = -1, ce qui est impossible : l'équation n'a pas de solution. S=∅\mathcal{S} = \varnothing