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Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Résolution d'équations — série 1

Résoudre chacune des équations suivantes en précisant, quand c'est nécessaire, le domaine de validité.

  1. Résoudre dans ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ l'équation ln⁡x=2\ln x = 2.

  2. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(2x−1)=0\ln(2x-1) = 0.

  3. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(2x+3)=ln⁡(x+5)\ln(2x+3) = \ln(x+5).

  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ex=5e^{x} = 5.

  5. Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation ln⁡(x−2)=ln⁡(4−x)\ln(x-2) = \ln(4-x).

Niveau 1 — Fonction logarithme — 15 min

Corrigé — Résolution d'équations — série 1

  1. Pour x>0x>0 : ln⁡x=2  ⟺  x=e2\ln x = 2 \iff x = e^{2}. Ainsi S={e2}\mathcal{S} = \{e^{2}\}.

  2. Domaine : 2x−1>0  ⟺  x>122x-1>0 \iff x>\dfrac12.

    ln⁡(2x−1)=0  ⟺  2x−1=1  ⟺  x=1\ln(2x-1)=0 \iff 2x-1 = 1 \iff x=1, et 1>121>\dfrac12 convient. S={1}\mathcal{S} = \{1\}

  3. Domaine : 2x+3>02x+3>0 et x+5>0x+5>0, soit x>−32x>-\dfrac32.

    Sur ce domaine : ln⁡(2x+3)=ln⁡(x+5)  ⟺  2x+3=x+5  ⟺  x=2\ln(2x+3) = \ln(x+5) \iff 2x+3 = x+5 \iff x=2. Cette valeur appartient au domaine. S={2}\mathcal{S} = \{2\}

  4. ex=5  ⟺  x=ln⁡5e^x = 5 \iff x = \ln 5. S={ln⁡5}\mathcal{S} = \{\ln 5\}

  5. Domaine : x−2>0x-2>0 et 4−x>04-x>0, soit 2<x<42<x<4.

    x−2=4−x  ⟺  2x=6  ⟺  x=3x-2 = 4-x \iff 2x = 6 \iff x = 3, et 3∈]2 ; 4[3\in]2\,;\,4[ convient. S={3}\mathcal{S} = \{3\}