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Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Étude d'une fonction logarithme

On considère la fonction ff définie sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=ln⁡xxf(x)=\dfrac{\ln x}{x}. On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative.

  1. Déterminer la limite de ff en 0+0^+.

  2. Déterminer la limite de ff en +∞+\infty.

  3. En déduire que Cf\mathcal{C}_f admet deux asymptotes dont on donnera les équations.

  4. Étudier la position relative de Cf\mathcal{C}_f et de son asymptote horizontale.

  5. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de Cf\mathcal{C}_f avec son asymptote horizontale.

Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Corrigé — Étude d'une fonction logarithme

  1. Quand x→0+x\to0^+, ln⁡x→−∞\ln x\to-\infty et 1x→+∞\dfrac1x\to+\infty. Par produit, f(x)=ln⁡x×1x→−∞f(x)=\ln x\times\dfrac1x\to-\infty.

  2. C'est une limite de croissances comparées : lim⁡x→+∞ln⁡xx=0\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0.

    • lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty : la droite d'équation x=0x=0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale.
    • lim⁡x→+∞f(x)=0\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0 : la droite d'équation y=0y=0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale en +∞+\infty.

  4. Comme x>0x>0, f(x)f(x) a le signe de ln⁡x\ln x.

    • Si x>1x>1, ln⁡x>0\ln x>0 : Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de l'axe des abscisses.
    • Si 0<x<10<x<1, ln⁡x<0\ln x<0 : Cf\mathcal{C}_f est en dessous.

  5. On résout f(x)=0f(x)=0 sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : ln⁡xx=0  ⟺  ln⁡x=0  ⟺  x=1\dfrac{\ln x}{x}=0\iff\ln x=0\iff x=1.

    Le point d'intersection est A(1 ; 0)A(1\,;\,0).