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Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Une asymptote oblique avec une exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-2+e^{-x}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ . (On pourra factoriser par $e^{-x}$ .)
Calculer $f(x)-(x-2)$ et en déduire que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-2$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ .
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $\Delta$ .
$\Delta$ est-elle asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ ? Quelles sont toutes les asymptotes de $\mathcal{C}_f$ ? Justifier.

Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Corrigé — Une asymptote oblique avec une exponentielle

$\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ et $x-2\to+\infty$ . Par somme, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
Forme indéterminée « $-\infty+\infty$ ». On factorise : $f(x)=e^{-x}\left(1+(x-2)e^{x}\right)$ .

Par croissances comparées, $x\,e^x\to0$ et $e^x\to0$ quand $x\to-\infty$ , donc $(x-2)e^x=xe^x-2e^x\to0$ et la parenthèse tend vers $1$ . Comme $e^{-x}\to+\infty$ , on obtient $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ .
$f(x)-(x-2)=e^{-x}$ , et $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ . Donc $\Delta:y=x-2$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ .
$f(x)-(x-2)=e^{-x}>0$ pour tout réel $x$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc toujours au-dessus de $\Delta$ .
En $-\infty$ , $f(x)-(x-2)=e^{-x}\to+\infty\neq0$ : $\Delta$ n'est pas asymptote en $-\infty$ . La limite de $f$ en $-\infty$ étant $+\infty$ , il n'y a pas d'asymptote horizontale non plus.

La fonction $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ : pas d'asymptote verticale.

Bilan : la seule asymptote est la droite $y=x-2$ , en $+\infty$ .