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Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Calculs de limites — série 5

Dans chaque question, déterminer la limite demandée. Certaines sont des formes indéterminées : il faut les lever avant de conclure.

Soit $f(x) = \sqrt{4x^2+x}-2x$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = \dfrac{x^3-1}{x-1}$ . Déterminer $\lim_{x \to 1} f(x)$ .
Soit $f(x) = x\,e^{x}$ . Déterminer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = x\ln\left(1+\dfrac1x\right)$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = \dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ . Déterminer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .

Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Corrigé — Calculs de limites — série 5

Forme indéterminée. $f(x)=\dfrac{(4x^2+x)-4x^2}{\sqrt{4x^2+x}+2x}=\dfrac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}$ .

Pour $x>0$ : $\sqrt{4x^2+x}=x\sqrt{4+\frac1x}$ , donc $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4+\frac1x}+2}\to\dfrac{1}{2+2}$ .

Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac14$ .
Forme indéterminée « $\frac00$ ». $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ , donc pour $x\neq1$ , $f(x)=x^2+x+1\to3$ .

Conclusion : $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$ .
Forme indéterminée « $(-\infty)\times0$ ». On pose $X=-x$ : $f(x)=-Xe^{-X}$ avec $X\to+\infty$ , et par croissances comparées $Xe^{-X}\to0$ .

Conclusion : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ .
On pose $X=\dfrac1x$ : $f(x)=\dfrac{\ln(1+X)}{X}$ avec $X\to0^+$ quand $x\to+\infty$ . D'après la limite de référence, cela tend vers $1$ .

Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ .
En $-\infty$ , $e^x\to0$ : le numérateur tend vers $-1$ et le dénominateur vers $1$ . Donc $f(x)\to-1$ .

Conclusion : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$ .