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Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Calculs de limites — série 4

Dans chaque question, déterminer la limite demandée. Certaines sont des formes indéterminées : il faut les lever avant de conclure.

  1. Soit f(x)=x−x2−4xf(x) = x-\sqrt{x^2-4x}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  2. Soit f(x)=x−2x−4f(x) = \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}. Déterminer lim⁡x→4f(x)\lim_{x \to 4} f(x).

  3. Soit f(x)=ln⁡xxf(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  4. Soit f(x)=ex−xf(x) = e^{x}-x. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  5. Soit f(x)=ex+1ex−1f(x) = \dfrac{e^x+1}{e^x-1}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Corrigé — Calculs de limites — série 4

  1. Forme indéterminée. f(x)=x2−(x2−4x)x+x2−4x=4xx+x2−4xf(x)=\dfrac{x^2-(x^2-4x)}{x+\sqrt{x^2-4x}}=\dfrac{4x}{x+\sqrt{x^2-4x}}.

    Pour x>4x>4 : x2−4x=x1−4x\sqrt{x^2-4x}=x\sqrt{1-\frac4x}, donc f(x)=41+1−4x→42f(x)=\dfrac{4}{1+\sqrt{1-\frac4x}}\to\dfrac{4}{2}.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=2\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2.

  2. Forme indéterminée « 00\frac00 ». On écrit x−4=(x−2)(x+2)x-4=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2), d'où, pour x≠4x\neq4, f(x)=1x+2→14f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x+2}\to\dfrac14.

    Conclusion : lim⁡x→4f(x)=14\lim_{x \to 4} f(x) = \dfrac14.

  3. Forme indéterminée « ∞∞\frac\infty\infty ». On pose X=xX=\sqrt x ; alors ln⁡x=2ln⁡X\ln x=2\ln X et f(x)=2ln⁡XXf(x)=\dfrac{2\ln X}{X}. Quand x→+∞x\to+\infty, X→+∞X\to+\infty et, par croissances comparées, ln⁡XX→0\dfrac{\ln X}{X}\to0.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.

  4. Forme indéterminée « ∞−∞\infty-\infty ». On factorise : f(x)=x(exx−1)f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right). Par croissances comparées exx→+∞\dfrac{e^x}{x}\to+\infty, donc la parenthèse tend vers +∞+\infty, et f(x)→+∞f(x)\to+\infty.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.

  5. Forme indéterminée « ∞∞\frac\infty\infty ». On factorise par exe^x : f(x)=1+e−x1−e−xf(x)=\dfrac{1+e^{-x}}{1-e^{-x}}. Comme e−x→0e^{-x}\to0, f(x)→11f(x)\to\dfrac11.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=1\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1.