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Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Calculs de limites — série 3

Dans chaque question, déterminer la limite demandée. Certaines sont des formes indéterminées : il faut les lever avant de conclure.

  1. Soit f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2+1}-x. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  2. Soit f(x)=x2−9x2−x−6f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2-x-6}. Déterminer lim⁡x→3f(x)\lim_{x \to 3} f(x).

  3. Soit f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x. Déterminer lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) (limite à droite).

  4. Soit f(x)=e2x−1xf(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{x}. Déterminer lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x).

  5. Soit f(x)=2x+sin⁡xxf(x) = \dfrac{2x+\sin x}{x}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Corrigé — Calculs de limites — série 3

  1. Forme indéterminée. f(x)=(x2+1)−x2x2+1+x=1x2+1+xf(x)=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}, et le dénominateur tend vers +∞+\infty.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.

  2. Forme indéterminée « 00\frac00 ». x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3) et x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2-x-6=(x-3)(x+2). Pour x≠3x\neq3 : f(x)=x+3x+2→65f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}\to\dfrac{6}{5}.

    Conclusion : lim⁡x→3f(x)=65\lim_{x \to 3} f(x) = \dfrac65.

  3. Forme indéterminée « 0×(−∞)0\times(-\infty) ». Par croissances comparées, lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0.

    Conclusion : lim⁡x→0+f(x)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0.

  4. On écrit f(x)=2×e2x−12xf(x)=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}. Avec X=2x→0X=2x\to0, eX−1X→1\dfrac{e^X-1}{X}\to1. Donc f(x)→2×1=2f(x)\to2\times1=2.

    Conclusion : lim⁡x→0f(x)=2\lim_{x \to 0} f(x) = 2.

  5. Pour x>0x>0 : f(x)=2+sin⁡xxf(x)=2+\dfrac{\sin x}{x}. Or sin⁡xx→0\dfrac{\sin x}{x}\to0 (gendarmes), donc f(x)→2f(x)\to2.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=2\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2.