Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Corrigé — Calculs de limites — série 2

1. Forme indéterminée « $\infty-\infty$ ». Avec la quantité conjuguée : $f(x)=\dfrac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $f(x)\to0$.

   Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

2. Forme indéterminée « $\frac00$ » : $x^2-x-2$ s'annule en $-1$ et se factorise en $(x+1)(x-2)$. Pour $x\neq-1$, $f(x)=x-2\to-3$.

   Conclusion : $\lim_{x \to -1} f(x) = -3$.

3. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$ pour tout entier $n$.

   Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

4. C'est le taux d'accroissement de $g(x)=\ln(1+x)$ en $0$ ($g(0)=0$). Comme $g'(x)=\dfrac1{1+x}$, $g'(0)=1$ : la limite vaut $1$.

   Conclusion : $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.

5. Pour tout $x$, $\cos x\geq-1$ donc $f(x)\geq x-1$. Comme $x-1\to+\infty$, le théorème de comparaison donne $f(x)\to+\infty$.

   Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.