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Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Calculs de limites — série 1

Dans chaque question, déterminer la limite demandée. Certaines sont des formes indéterminées : il faut les lever avant de conclure.

  1. Soit f(x)=x2+x−xf(x) = \sqrt{x^2+x}-x. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  2. Soit f(x)=x2−4x−2f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}. Déterminer lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x).

  3. Soit f(x)=x2e−xf(x) = x^2e^{-x}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  4. Soit f(x)=ex−1xf(x) = \dfrac{e^x-1}{x}. Déterminer lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x).

  5. Soit f(x)=sin⁡xxf(x) = \dfrac{\sin x}{x}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

Niveau 2 — Limites de fonctions — 20 min

Corrigé — Calculs de limites — série 1

  1. Forme indéterminée « ∞−∞\infty-\infty ». On multiplie par la quantité conjuguée :

    f(x)=(x2+x)−x2x2+x+x=xx2+x+xf(x) = \dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.

    Pour x>0x>0, x2+x=x1+1x\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac1x}, donc f(x)=11+1x+1→11+1f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac{1}{1+1}.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=12\lim_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac12.

  2. Forme indéterminée « 00\frac00 ». Pour x≠2x\neq2 : x2−4x−2=(x−2)(x+2)x−2=x+2→4\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to4.

    Conclusion : lim⁡x→2f(x)=4\lim_{x \to 2} f(x) = 4.

  3. Forme indéterminée « ∞×0\infty\times0 ». Par croissances comparées, lim⁡x→+∞xne−x=0\lim\limits_{x\to+\infty}x^ne^{-x}=0 pour tout entier nn.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.

  4. On reconnaît le taux d'accroissement de exp⁡\exp en 00 : ex−e0x−0\dfrac{e^x-e^0}{x-0}. Comme exp⁡′(0)=e0=1\exp'(0)=e^0=1, la limite vaut 11.

    Conclusion : lim⁡x→0f(x)=1\lim_{x \to 0} f(x) = 1.

  5. Pour x>0x>0, −1≤sin⁡x≤1-1\leq\sin x\leq1 donc −1x≤sin⁡xx≤1x-\dfrac1x\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq\dfrac1x. Les deux bornes tendent vers 00 : par le théorème des gendarmes, f(x)→0f(x)\to0.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.