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Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Calculs de limites — série 5

Dans chaque question, déterminer la limite demandée en justifiant (opérations sur les limites, terme dominant, composition).

Soit $f(x) = 2x^4-x^3$ . Déterminer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = \dfrac{1-x^3}{x^2+1}$ . Déterminer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2-4}$ . Déterminer $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ (limite à gauche).
Soit $f(x) = -2\ln x$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$ . Déterminer $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ (limite à gauche).

Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Corrigé — Calculs de limites — série 5

Terme dominant : $2x^4$ . Quand $x\to-\infty$ , $x^4\to+\infty$ donc $2x^4\to+\infty$ .

Conclusion : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ .
Quotient des termes dominants : $\dfrac{-x^3}{x^2} = -x$ . Quand $x\to-\infty$ , $-x\to+\infty$ .

Conclusion : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ .
Quand $x\to2^-$ : le numérateur tend vers $1>0$ . Le dénominateur $x^2-4=(x-2)(x+2)$ vérifie $x-2\to0^-$ et $x+2\to4>0$ , donc il tend vers $0^-$ . Le quotient tend vers $-\infty$ .

Conclusion : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ .
$\ln x\to+\infty$ et on multiplie par $-2<0$ : $f(x)\to-\infty$ .

Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ .
On pose $X=\dfrac1{x-1}$ . Quand $x\to1^-$ , $x-1\to0^-$ donc $X\to-\infty$ . Or $e^X\to0$ quand $X\to-\infty$ . Par composition, la limite est $0$ .

Conclusion : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$ .