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Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Calculs de limites — série 4

Dans chaque question, déterminer la limite demandée en justifiant (opérations sur les limites, terme dominant, composition).

  1. Soit f(x)=5−x−x2f(x) = 5-x-x^2. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  2. Soit f(x)=4x2−x1−2x2f(x) = \dfrac{4x^2-x}{1-2x^2}. Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).

  3. Soit f(x)=−2(x+1)2f(x) = \dfrac{-2}{(x+1)^2}. Déterminer lim⁡x→−1f(x)\lim_{x \to -1} f(x).

  4. Soit f(x)=x+ln⁡xf(x) = x+\ln x. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  5. Soit f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2+1}. Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).

Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Corrigé — Calculs de limites — série 4

  1. Terme dominant : −x2-x^2. Quand x→+∞x\to+\infty, x2→+∞x^2\to+\infty donc −x2→−∞-x^2\to-\infty.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.

  2. Quotient des termes dominants : 4x2−2x2=−2\dfrac{4x^2}{-2x^2} = -2.

    Conclusion : lim⁡x→−∞f(x)=−2\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2.

  3. Quand x→−1x\to-1 (des deux côtés), (x+1)2→0+(x+1)^2\to0^+. Donc 1(x+1)2→+∞\dfrac{1}{(x+1)^2}\to+\infty et −2(x+1)2→−∞\dfrac{-2}{(x+1)^2}\to-\infty.

    Conclusion : lim⁡x→−1f(x)=−∞\lim_{x \to -1} f(x) = -\infty.

  4. x→+∞x\to+\infty et ln⁡x→+∞\ln x\to+\infty : par somme, f(x)→+∞f(x)\to+\infty.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.

  5. On pose X=x2+1X=x^2+1. Quand x→−∞x\to-\infty, X→+∞X\to+\infty, et X→+∞\sqrt X\to+\infty. Par composition, la limite est +∞+\infty.

    Conclusion : lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty.