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Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Calculs de limites — série 3

Dans chaque question, déterminer la limite demandée en justifiant (opérations sur les limites, terme dominant, composition).

  1. Soit f(x)=x3−4xf(x) = x^3-4x. Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).

  2. Soit f(x)=x3+12x2−xf(x) = \dfrac{x^3+1}{2x^2-x}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

  3. Soit f(x)=2x+1x−3f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}. Déterminer lim⁡x→3−f(x)\lim_{x \to 3^-} f(x) (limite à gauche).

  4. Soit f(x)=ln⁡x−3f(x) = \ln x-3. Déterminer lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) (limite à droite).

  5. Soit f(x)=ln⁡(1+1x)f(x) = \ln\left(1+\dfrac1x\right). Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Corrigé — Calculs de limites — série 3

  1. Terme dominant : x3x^3. Quand x→−∞x\to-\infty, x3→−∞x^3\to-\infty.

    Conclusion : lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.

  2. Quotient des termes dominants : x32x2=x2\dfrac{x^3}{2x^2} = \dfrac x2, qui tend vers +∞+\infty en +∞+\infty.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.

  3. Quand x→3−x\to3^- : le numérateur tend vers 2×3+1=7>02\times3+1=7>0 et x−3→0−x-3\to0^- (négatif). Le quotient tend donc vers −∞-\infty.

    Conclusion : lim⁡x→3−f(x)=−∞\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty.

  4. lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty, donc ln⁡x−3→−∞\ln x-3\to-\infty.

    Conclusion : lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty.

  5. On pose X=1+1xX=1+\dfrac1x. Quand x→+∞x\to+\infty, X→1X\to1 et lim⁡X→1ln⁡X=ln⁡1=0\lim\limits_{X\to1}\ln X=\ln1=0. Par composition, la limite est 00.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.