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Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Calculs de limites — série 2

Dans chaque question, déterminer la limite demandée en justifiant (opérations sur les limites, terme dominant, composition).

  1. Soit f(x)=−2x2+5x−3f(x) = -2x^2+5x-3. Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).

  2. Soit f(x)=2x+1x2+3f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+3}. Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).

  3. Soit f(x)=31−xf(x) = \dfrac{3}{1-x}. Déterminer lim⁡x→1−f(x)\lim_{x \to 1^-} f(x) (limite à gauche).

  4. Soit f(x)=3ex−1f(x) = 3e^{x}-1. Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).

  5. Soit f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).

Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Corrigé — Calculs de limites — série 2

  1. En −∞-\infty, la limite est celle du terme dominant −2x2-2x^2. Or x2→+∞x^2\to+\infty, donc −2x2→−∞-2x^2\to-\infty.

    Conclusion : lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.

  2. En ±∞\pm\infty, une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes dominants : 2xx2=2x\dfrac{2x}{x^2} = \dfrac2x, qui tend vers 00.

    Conclusion : lim⁡x→−∞f(x)=0\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0.

  3. Quand x→1−x\to1^-, x<1x<1 donc 1−x→0+1-x\to0^+, et 31−x→+∞\dfrac3{1-x}\to+\infty.

    Conclusion : lim⁡x→1−f(x)=+∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty.

  4. lim⁡x→−∞ex=0\lim\limits_{x\to-\infty}e^{x}=0, donc 3ex→03e^x\to0 et f(x)→−1f(x)\to-1.

    Conclusion : lim⁡x→−∞f(x)=−1\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1.

  5. On pose X=−x2X=-x^2. Quand x→+∞x\to+\infty, X→−∞X\to-\infty, et lim⁡X→−∞eX=0\lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0. Par composition, la limite est 00.

    Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.