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Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Calculs de limites — série 1

Dans chaque question, déterminer la limite demandée en justifiant (opérations sur les limites, terme dominant, composition).

Soit $f(x) = x^3-2x^2+1$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = \dfrac{3x^2+1}{x^2-2}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ . Déterminer $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ (limite à droite).
Soit $f(x) = e^{-x}+2$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Soit $f(x) = e^{1/x}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Niveau 1 — Limites de fonctions — 15 min

Corrigé — Calculs de limites — série 1

En $+\infty$ , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré : $x^3 \to +\infty$ .

On peut le justifier : $f(x) = x^3\left(1-\dfrac2x+\dfrac1{x^3}\right)$ avec $x^3\to+\infty$ et la parenthèse $\to1$ .

Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .
On factorise par $x^2$ : $f(x) = \dfrac{x^2\left(3+\frac1{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac2{x^2}\right)} = \dfrac{3+\frac1{x^2}}{1-\frac2{x^2}}$ .

Or $\frac1{x^2}\to0$ et $\frac2{x^2}\to0$ en $+\infty$ .

Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ .
Quand $x\to2^+$ , $x-2\to0^+$ (positif), donc $\dfrac1{x-2}\to+\infty$ .

Conclusion : $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ .
$\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ (car $-x\to-\infty$ et $e^X\to0$ quand $X\to-\infty$ ). Par somme, la limite est $0+2=2$ .

Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ .
On pose $X=\dfrac1x$ . Quand $x\to+\infty$ , $X\to0$ . Or $\lim\limits_{X\to0}e^X=e^0=1$ . Par composition, la limite est $1$ .

Conclusion : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ .