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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Contexte : température moyenne

La température (en °C) d'une ville au cours d'une journée est modélisée par T(t)=15+8sin⁡(π(t−9)12)T(t)=15+8\sin\left(\dfrac{\pi(t-9)}{12}\right) où t∈[0 ; 24]t\in[0\,;\,24] est l'heure.

  1. Déterminer la température maximale, la température minimale et les heures où elles sont atteintes.

  2. Calculer la température moyenne sur la journée ([0 ; 24][0\,;\,24]).

  3. Calculer la température moyenne entre 99 h et 2121 h (demi-période chaude).

  4. Calculer la température moyenne entre 66 h et 1212 h. Pourquoi retrouve-t-on exactement la moyenne journalière ?

  5. Calculer la température moyenne entre 1212 h et 1818 h (valeur exacte puis approchée).

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Contexte : température moyenne

  1. sin⁡=1\sin=1 pour π(t−9)12=π2\dfrac{\pi(t-9)}{12}=\dfrac\pi2, soit t=15t=15 : T=23 °T=23\,°C (maximum à 15 h). sin⁡=−1\sin=-1 pour π(t−9)12=−π2\dfrac{\pi(t-9)}{12}=-\dfrac\pi2, soit t=3t=3 : T=7 °T=7\,°C (minimum à 3 h).

  2. 124∫024(15+8sin⁡π(t−9)12)dt=15+824[−12πcos⁡π(t−9)12]024=15+0=15 °\dfrac1{24}\displaystyle\int_0^{24}\left(15+8\sin\dfrac{\pi(t-9)}{12}\right)dt=15+\dfrac{8}{24}\left[-\dfrac{12}\pi\cos\dfrac{\pi(t-9)}{12}\right]_0^{24}=15+0=15\,°C (car cos⁡15π12=cos⁡(−3π4)\cos\dfrac{15\pi}{12}=\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) et cos⁡−9π12\cos\dfrac{-9\pi}{12} sont égaux).

  3. 112∫921T(t)dt=15+812×12π[−cos⁡π(t−9)12]921=15+8π×2=15+16π≈20,09 °\dfrac{1}{12}\displaystyle\int_9^{21}T(t)dt=15+\dfrac{8}{12}\times\dfrac{12}{\pi}\left[-\cos\dfrac{\pi(t-9)}{12}\right]_9^{21}=15+\dfrac8\pi\times2=15+\dfrac{16}{\pi}\approx20{,}09\,°C.

  4. Avec s=t−9∈[−3 ; 3]s=t-9\in[-3\,;\,3], ∫−33sin⁡πs12ds=0\displaystyle\int_{-3}^3\sin\dfrac{\pi s}{12}ds=0 car le sinus est impair : la moyenne vaut 15 °15\,°C. La température passe autant au-dessus qu'en dessous de 15 °15\,°C sur cet intervalle centré en 99 h.

  5. 16∫1218T=15+86×12π[−cos⁡π(t−9)12]1218=15+16π(cos⁡π4−cos⁡3π4)=15+162π≈22,20 °\dfrac16\displaystyle\int_{12}^{18}T=15+\dfrac86\times\dfrac{12}\pi\left[-\cos\dfrac{\pi(t-9)}{12}\right]_{12}^{18}=15+\dfrac{16}{\pi}\left(\cos\dfrac\pi4-\cos\dfrac{3\pi}4\right)=15+\dfrac{16\sqrt2}{\pi}\approx22{,}20\,°C.