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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Minimiser une distance moyenne

Pour tout réel $x$ , on pose $M(x)=\displaystyle\int_0^1|t-x|\,dt$ : c'est la « distance moyenne » entre $x$ et un point $t$ choisi dans $[0\,;\,1]$ .

Calculer $M(x)$ pour $x\leq0$ puis pour $x\geq1$ .
Montrer que pour $x\in[0\,;\,1]$ , $M(x)=x^2-x+\dfrac12$ .
Dresser le tableau de variations de $M$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer son minimum.
Montrer que $M$ est continue et dérivable en $0$ et en $1$ .
Interpréter le résultat : pour quel point $x$ la distance moyenne à un point de $[0\,;\,1]$ est-elle minimale ? Que vaut-elle ?

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Corrigé — Minimiser une distance moyenne

Si $x\leq0$ : $|t-x|=t-x$ donc $M(x)=\displaystyle\int_0^1(t-x)dt=\dfrac12-x$ . Si $x\geq1$ : $|t-x|=x-t$ donc $M(x)=x-\dfrac12$ .
$M(x)=\displaystyle\int_0^x(x-t)dt+\int_x^1(t-x)dt=\dfrac{x^2}2+\dfrac{(1-x)^2}2=x^2-x+\dfrac12$ .
$M$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,\dfrac12]$ (d'abord $\dfrac12-x$ puis $2x-1<0$ sur $[0\,;\,\dfrac12[$ ) et croissante sur $[\dfrac12\,;\,+\infty[$ . Minimum : $M\left(\dfrac12\right)=\dfrac14-\dfrac12+\dfrac12=\dfrac14$ .
En $0$ : $M(0)=\dfrac12$ des deux côtés ; dérivée à gauche $-1$ , à droite $2\times0-1=-1$ ✓. En $1$ : $M(1)=\dfrac12$ ; dérivée à gauche $2\times1-1=1$ , à droite $1$ ✓. Donc $M$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (de classe $C^1$ ).
Elle est minimale au milieu $x=\dfrac12$ de l'intervalle et vaut $\dfrac14$ : on trouve le point « le plus central ».