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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Fonction définie par une intégrale : x ↦ ∫₀ˣ 2t e^{−t²} dt

On considère la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=∫0x2te−t2 dtF(x)=\displaystyle\int_0^x2te^{-t^2}\,dt.

  1. Calculer F(x)F(x) en reconnaissant une forme u′euu'e^u.

  2. Quelle est la dérivée de FF ? Retrouver ce résultat sans calculer l'intégrale.

  3. Étudier la parité, les variations et les limites de FF en ±∞\pm\infty.

  4. Étudier la convexité de FF et déterminer ses points d'inflexion.

  5. Résoudre F(x)=12F(x)=\dfrac12 et interpréter F(x)F(x) comme une aire.

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Fonction définie par une intégrale : x ↦ ∫₀ˣ 2t e^{−t²} dt

  1. t↦2te−t2=−u′(t)eu(t)t\mapsto2te^{-t^2}=-u'(t)e^{u(t)} avec u(t)=−t2u(t)=-t^2 : primitive −e−t2-e^{-t^2}. F(x)=[−e−t2]0x=1−e−x2F(x)=\left[-e^{-t^2}\right]_0^x=1-e^{-x^2}.

  2. F′(x)=2xe−x2F'(x)=2xe^{-x^2}. C'est bien la valeur de l'intégrande en xx : la fonction x↦∫0xf(t)dtx\mapsto\displaystyle\int_0^xf(t)dt est la primitive de ff qui s'annule en 00.

  3. F(−x)=F(x)F(-x)=F(x) : FF est paire. F′(x)=2xe−x2F'(x)=2xe^{-x^2} a le signe de xx : FF décroît sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0] de 11 à F(0)=0F(0)=0 puis croît de 00 vers 11 sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. lim⁡x→±∞F(x)=1\lim\limits_{x\to\pm\infty}F(x)=1 (droite y=1y=1 asymptote).

  4. F′′(x)=2e−x2(1−2x2)F''(x)=2e^{-x^2}\left(1-2x^2\right) s'annule en ±12\pm\dfrac{1}{\sqrt2}, positive entre ces valeurs : FF convexe sur [−12 ; 12]\left[-\dfrac1{\sqrt2}\,;\,\dfrac1{\sqrt2}\right] et concave à l'extérieur. Points d'inflexion d'abscisses ±22\pm\dfrac{\sqrt2}{2}, d'ordonnée 1−e−1/2≈0,3931-e^{-1/2}\approx0{,}393.

  5. 1−e−x2=12  ⟺  e−x2=12  ⟺  x2=ln⁡2  ⟺  x=±ln⁡2≈±0,8331-e^{-x^2}=\dfrac12\iff e^{-x^2}=\dfrac12\iff x^2=\ln2\iff x=\pm\sqrt{\ln2}\approx\pm0{,}833. Pour x>0x>0, F(x)F(x) est l'aire sous la courbe de t↦2te−t2t\mapsto2te^{-t^2} entre 00 et xx ; elle tend vers 11 : l'aire totale sous la courbe sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ vaut 11.