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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Approcher e par une suite d'intégrales

Pour tout entier n≥0n\geq0, on pose Jn=∫01(1−x)nex dxJ_n=\displaystyle\int_0^1(1-x)^ne^x\,dx.

  1. Calculer J0J_0 et J1J_1.

  2. Montrer que Jn+1=(n+1)Jn−1J_{n+1}=(n+1)J_n-1.

  3. Montrer que Jn=n!(e−∑k=0n1k!)J_n=n!\left(e-\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}\right) (récurrence) et vérifier pour n=2n=2.

  4. Montrer que 0≤Jn≤en+10\leq J_n\leq\dfrac{e}{n+1}.

  5. En déduire que 0≤e−∑k=0n1k!≤e(n+1) n!0\leq e-\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}\leq\dfrac{e}{(n+1)\,n!}, puis la limite de la somme. Combien de termes suffisent pour approcher ee à 10−310^{-3} près ?

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Approcher e par une suite d'intégrales

  1. J0=e−1J_0=e-1. J1J_1 : IPP avec u=1−xu=1-x, v′=exv'=e^x : J1=[(1−x)ex]01+∫01exdx=−1+(e−1)=e−2J_1=\left[(1-x)e^x\right]_0^1+\displaystyle\int_0^1e^xdx=-1+(e-1)=e-2.

  2. Jn+1=[(1−x)n+1ex]01+(n+1)∫01(1−x)nexdx=−1+(n+1)JnJ_{n+1}=\left[(1-x)^{n+1}e^x\right]_0^1+(n+1)\displaystyle\int_0^1(1-x)^ne^xdx=-1+(n+1)J_n (le crochet vaut 0−10-1).

  3. Initialisation : J0=0!(e−1)J_0=0!(e-1) ✓. Hérédité : si Jn=n!(e−∑k=0n1k!)J_n=n!\left(e-\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\right) alors Jn+1=(n+1)Jn−1=(n+1)!(e−∑k=0n1k!)−1=(n+1)!(e−∑k=0n1k!−1(n+1)!)=(n+1)!(e−∑k=0n+11k!)J_{n+1}=(n+1)J_n-1=(n+1)!\left(e-\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\right)-1=(n+1)!\left(e-\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)=(n+1)!\left(e-\sum_{k=0}^{n+1}\frac1{k!}\right) ✓. Pour n=2n=2 : J2=2(e−52)=2e−5≈0,437J_2=2\left(e-\dfrac52\right)=2e-5\approx0{,}437.

  4. Pour x∈[0 ; 1]x\in[0\,;\,1], 0≤(1−x)nex≤(1−x)ne0\leq(1-x)^ne^x\leq(1-x)^ne. Donc 0≤Jn≤e∫01(1−x)ndx=en+10\leq J_n\leq e\displaystyle\int_0^1(1-x)^ndx=\dfrac{e}{n+1}.

  5. On divise l'encadrement précédent par n!n! : 0≤e−∑k=0n1k!≤e(n+1) n!=e(n+1)!0\leq e-\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}\leq\dfrac{e}{(n+1)\,n!}=\dfrac{e}{(n+1)!}. Comme e(n+1)!→0\dfrac{e}{(n+1)!}\to0, ∑k=0n1k!→e\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}\to e. Pour n=6n=6 : e7!≈0,00054<10−3\dfrac{e}{7!}\approx0{,}00054<10^{-3} ; pour n=5n=5 la majoration vaut e6!≈0,0038>10−3\dfrac{e}{6!}\approx0{,}0038>10^{-3} (elle ne suffit plus). Il suffit donc de 77 termes (k=0k=0 à 66) : ∑k=061k!≈2,7181\sum_{k=0}^6\frac1{k!}\approx2{,}7181.