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Encadrement de ln(1+1/n) et série harmonique

Pour tout entier $n\geq1$ , on pose $v_n=\displaystyle\int_n^{n+1}\dfrac{1}{x}\,dx$ et $H_n=1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n$ .

Calculer $v_n$ en fonction de $n$ .
Montrer que $\dfrac1{n+1}\leq v_n\leq\dfrac1n$ .
En déduire que $H_n\geq\ln(n+1)$ pour tout $n\geq1$ .
Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}H_n$ .
Montrer de même que $H_n\leq1+\ln n$ . Quel encadrement obtient-on pour $H_{100}$ ?

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Corrigé — Encadrement de ln(1+1/n) et série harmonique

$v_n=\left[\ln x\right]_n^{n+1}=\ln(n+1)-\ln n=\ln\left(1+\dfrac1n\right)$ .
Pour $x\in[n\,;\,n+1]$ : $\dfrac1{n+1}\leq\dfrac1x\leq\dfrac1n$ . L'intervalle est de longueur $1$ : $\dfrac1{n+1}\leq v_n\leq\dfrac1n$ .
$\dfrac1k\geq v_k=\ln(k+1)-\ln k$ . En sommant de $k=1$ à $n$ : $H_n\geq\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1)$ .
$\ln(n+1)\to+\infty$ et $H_n\geq\ln(n+1)$ : $\lim H_n=+\infty$ (la série harmonique diverge).
Pour $k\geq1$ : $\dfrac1{k+1}\leq v_k$ , soit en sommant de $k=1$ à $n-1$ : $H_n-1\leq\ln n$ . Donc $H_n\leq1+\ln n$ . Pour $n=100$ : $\ln101\approx4{,}62\leq H_{100}\leq1+\ln100\approx5{,}61$ (valeur réelle $\approx5{,}187$ ).