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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Suite K_n = ∫ xⁿ/(2−x)

Pour tout entier n≥0n\geq0, on pose Kn=∫01xn2−x dxK_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{2-x}\,dx.

  1. Calculer K0K_0.

  2. Vérifier que xn+12−x=2xn2−x−xn\dfrac{x^{n+1}}{2-x}=\dfrac{2x^n}{2-x}-x^n et en déduire Kn+1=2Kn−1n+1K_{n+1}=2K_n-\dfrac1{n+1}.

  3. Calculer K1K_1 et K2K_2.

  4. Montrer que 12(n+1)≤Kn≤1n+1\dfrac{1}{2(n+1)}\leq K_n\leq\dfrac{1}{n+1}.

  5. En déduire la limite de (Kn)(K_n) et montrer que (Kn)(K_n) est décroissante.

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Suite K_n = ∫ xⁿ/(2−x)

  1. K0=[−ln⁡(2−x)]01=−ln⁡1+ln⁡2=ln⁡2K_0=\left[-\ln(2-x)\right]_0^1=-\ln1+\ln2=\ln2.

  2. 2xn2−x−xn=2xn−2xn+xn+12−x=xn+12−x\dfrac{2x^n}{2-x}-x^n=\dfrac{2x^n-2x^n+x^{n+1}}{2-x}=\dfrac{x^{n+1}}{2-x} ✓. On intègre : Kn+1=2Kn−∫01xndx=2Kn−1n+1K_{n+1}=2K_n-\displaystyle\int_0^1x^ndx=2K_n-\dfrac1{n+1}.

  3. K1=2K0−1=2ln⁡2−1≈0,386K_1=2K_0-1=2\ln2-1\approx0{,}386 ; K2=2K1−12=4ln⁡2−52≈0,273K_2=2K_1-\dfrac12=4\ln2-\dfrac52\approx0{,}273.

  4. Pour x∈[0 ; 1]x\in[0\,;\,1] : 1≤2−x≤21\leq2-x\leq2 donc 12≤12−x≤1\dfrac12\leq\dfrac1{2-x}\leq1, puis xn2≤xn2−x≤xn\dfrac{x^n}2\leq\dfrac{x^n}{2-x}\leq x^n ; on intègre.

  5. Gendarmes : Kn→0K_n\to0. Kn+1−Kn=∫01xn(x−1)2−xdx≤0K_{n+1}-K_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n(x-1)}{2-x}dx\leq0 car xn≥0x^n\geq0, x−1≤0x-1\leq0, 2−x>02-x>0 : (Kn)(K_n) est décroissante.