Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Intégrale de 1/(1+xⁿ)

1. $v_1=\left[\ln(1+x)\right]_0^1=\ln2\approx0{,}693$.

2. Pour $x\in[0\,;\,1]$ : $1\leq1+x^n\leq2$ donc $\dfrac12\leq\dfrac1{1+x^n}\leq1$ ; on intègre sur $[0\,;\,1]$ (longueur $1$).

3. $0\leq x\leq1$ donne $x^{n+1}\leq x^n$ donc $\dfrac{1}{1+x^{n+1}}\geq\dfrac1{1+x^n}$ ; par intégration $v_{n+1}\geq v_n$. Croissante et majorée par $1$ : $(v_n)$ converge.

4. $1-v_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x^n}dx$ ; comme $0\leq\dfrac{x^n}{1+x^n}\leq x^n$, on a $0\leq1-v_n\leq\displaystyle\int_0^1x^ndx=\dfrac1{n+1}$.

5. $1-\dfrac1{n+1}\leq v_n\leq1$ et gendarmes : $\lim v_n=1$. Pour $n=9$ : $0{,}9\leq v_9\leq1$ (numériquement $v_9\approx0{,}932$).