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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Une suite d'intégrales qui tend vers 0

Pour tout entier $n\geq1$ , on pose $u_n=\displaystyle\int_0^1xe^{-nx}\,dx$ .

Calculer $u_1$ .
Montrer que $u_n=\dfrac{1-(n+1)e^{-n}}{n^2}$ pour tout $n\geq1$ .
Montrer que $0\leq u_n\leq\dfrac{1}{n^2}$ .
En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}n^2u_n$ .
Interpréter graphiquement : pourquoi l'aire sous la courbe de $x\mapsto xe^{-nx}$ sur $[0\,;\,1]$ tend-elle vers $0$ quand $n$ augmente ?

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Une suite d'intégrales qui tend vers 0

IPP avec $u=x$ , $v'=e^{-x}$ : $u_1=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\displaystyle\int_0^1e^{-x}dx=-e^{-1}+1-e^{-1}=1-2e^{-1}\approx0{,}264$ .
$u_n=\left[-\dfrac{xe^{-nx}}n\right]_0^1+\dfrac1n\displaystyle\int_0^1e^{-nx}dx=-\dfrac{e^{-n}}n+\dfrac1n\times\dfrac{1-e^{-n}}n=\dfrac{-ne^{-n}+1-e^{-n}}{n^2}=\dfrac{1-(n+1)e^{-n}}{n^2}$ .
$(n+1)e^{-n}>0$ donc $u_n\leq\dfrac1{n^2}$ . D'autre part $u_n$ est l'intégrale d'une fonction positive donc $u_n\geq0$ .
Gendarmes : $u_n\to0$ . De plus $n^2u_n=1-(n+1)e^{-n}\to1$ car $\dfrac{n+1}{e^n}\to0$ (croissances comparées).
Plus $n$ est grand, plus $e^{-nx}$ décroît rapidement : la courbe se « colle » à l'axe des abscisses sauf près de $0$ , où le facteur $x$ la fait aussi tendre vers $0$ . L'aire sous la courbe tend donc vers $0$ .