Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Intégrales de Wallis

Pour tout entier $n\geq0$ , on pose $W_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$ .

Calculer $W_0$ et $W_1$ .
Montrer, par intégration par parties, que $(n+2)W_{n+2}=(n+1)W_n$ .
En déduire $W_2$ , $W_3$ , $W_4$ et $W_5$ .
Montrer que $(W_n)$ est positive et décroissante.
Montrer que $\dfrac{n+1}{n+2}\leq\dfrac{W_{n+1}}{W_n}\leq1$ , puis que $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{W_{n+1}}{W_n}=1$ .

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Intégrales de Wallis

$W_0=\dfrac\pi2$ et $W_1=\left[-\cos x\right]_0^{\pi/2}=1$ .
$u(x)=\sin^{n+1}x$ , $u'(x)=(n+1)\sin^nx\cos x$ , $v'(x)=\sin x$ , $v(x)=-\cos x$ : $W_{n+2}=\left[-\sin^{n+1}x\cos x\right]_0^{\pi/2}+(n+1)\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^nx\cos^2x\,dx=(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin^nx\left(1-\sin^2x\right)dx=(n+1)\left(W_n-W_{n+2}\right)$ . Donc $(n+2)W_{n+2}=(n+1)W_n$ .
$W_2=\dfrac12W_0=\dfrac\pi4$ ; $W_3=\dfrac23W_1=\dfrac23$ ; $W_4=\dfrac34W_2=\dfrac{3\pi}{16}$ ; $W_5=\dfrac45W_3=\dfrac{8}{15}$ .
Sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ , $0\leq\sin x\leq1$ donc $0\leq\sin^{n+1}x\leq\sin^nx$ ; par intégration, $0\leq W_{n+1}\leq W_n$ .
De $W_{n+2}\leq W_{n+1}\leq W_n$ on tire $\dfrac{W_{n+2}}{W_n}\leq\dfrac{W_{n+1}}{W_n}\leq1$ et $\dfrac{W_{n+2}}{W_n}=\dfrac{n+1}{n+2}$ . Comme $\dfrac{n+1}{n+2}\to1$ , les gendarmes donnent $\dfrac{W_{n+1}}{W_n}\to1$ : les termes décroissent « lentement ».