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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Chasles et aires algébriques sur un graphique

On se place dans un repère orthogonal (O ; ı⃗,ȷ⃗)(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath). L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés 11 en abscisse et 11 en ordonnée. La courbe Cf\mathcal{C}_f représente une fonction ff affine par morceaux sur [0 ; 8][0\,;\,8] (sommets en (0 ; 0)(0\,;\,0), (2 ; 3)(2\,;\,3), (4 ; 0)(4\,;\,0), (6 ; −3)(6\,;\,-3), (8 ; 0)(8\,;\,0)).

Courbe affine par morceaux alternant positive sur [0;4] et négative sur [4;8].

  1. Calculer ∫04f(x) dx\displaystyle\int_0^4f(x)\,dx.

  2. Calculer ∫48f(x) dx\displaystyle\int_4^8f(x)\,dx.

  3. En déduire ∫08f(x) dx\displaystyle\int_0^8f(x)\,dx et ∫08∣f(x)∣ dx\displaystyle\int_0^8|f(x)|\,dx.

  4. Calculer ∫26f(x) dx\displaystyle\int_2^6f(x)\,dx en utilisant la symétrie de la courbe par rapport au point (4 ; 0)(4\,;\,0).

  5. Existe-t-il un réel c∈[0 ; 8]c\in[0\,;\,8] tel que f(c)f(c) soit égale à la valeur moyenne de ff sur [0 ; 8][0\,;\,8] ? Si oui, lesquels ?

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Chasles et aires algébriques sur un graphique

  1. Triangle de base 44 et de hauteur 33, au-dessus de l'axe : 4×32=6\dfrac{4\times3}{2}=6.

  2. Même aire 66 mais la courbe est sous l'axe : ∫48f=−6\displaystyle\int_4^8f=-6.

  3. ∫08f=6+(−6)=0\displaystyle\int_0^8f=6+(-6)=0 et ∫08∣f∣=6+6=12\displaystyle\int_0^8|f|=6+6=12.

  4. ∫24f=2×32=3\displaystyle\int_2^4f=\dfrac{2\times3}{2}=3 et ∫46f=−3\displaystyle\int_4^6f=-3. Donc ∫26f=0\displaystyle\int_2^6f=0.

  5. La valeur moyenne est 08=0\dfrac{0}{8}=0. Les solutions de f(c)=0f(c)=0 sont c∈{0 ; 4 ; 8}c\in\{0\,;\,4\,;\,8\}.