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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégrales combinées

Chaque intégrale est une somme de termes de natures différentes : utilise la linéarité de l'intégrale.

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(xe^{x}+e^{x}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(2x^{2}+1+\dfrac{3}{x}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(e^{2x}+2e^{-x}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(2x\left(x^{2}+1\right)^{2}+x\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(x\ln x+x\right)\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Intégrales combinées

Une primitive de $f : x\mapsto xe^{x}+e^{x}$ est $F : x\mapsto \left(x-1\right)e^{x}+e^{x}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=2e^{2}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 2x^{2}+1+\dfrac{3}{x}$ est $F : x\mapsto \dfrac{2}{3}x^{3}+x+3\ln(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=3\ln 2+\dfrac{17}{3}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto e^{2x}+2e^{-x}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}e^{2x}-2e^{-x}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{1}{2}e^{2}-2e^{-1}+\dfrac{3}{2}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 2x\left(x^{2}+1\right)^{2}+x$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{3}\left(x^{2}+1\right)^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{17}{6}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto x\ln x+x$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{2}x^{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=2\ln 2+\dfrac{3}{4}$ .