Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Intégration par parties : cas variés

1. IPP avec $u(x)=2x+1$ et $v'(x)=e^{x}$ (donc $u'(x)=2$ et $v(x)=e^{x}$). Une primitive de $f : x\mapsto \left(2x+1\right)e^{x}$ est $F : x\mapsto \left(2x-1\right)e^{x}$. Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=e+1$.

2. IPP avec $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x$ (donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}$). Une primitive de $f : x\mapsto x\ln x$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-\dfrac{1}{4}x^{2}$. Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{2}^{3}=F(3)-F(2)=-2\ln 2+\dfrac{9}{2}\ln 3-\dfrac{5}{4}$.

3. IPP avec $u(x)=x$ et $v'(x)=e^{-x}$ (donc $u'(x)=1$ et $v(x)=-1e^{-x}$). Une primitive de $f : x\mapsto xe^{-x}$ est $F : x\mapsto \left(-x-1\right)e^{-x}$. Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=-3e^{-2}+1$.

4. IPP avec $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x^{2}$ (donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}$). Une primitive de $f : x\mapsto x^{2}\ln x$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{3}x^{3}\ln x-\dfrac{1}{9}x^{3}$. Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{3}=F(3)-F(1)=9\ln 3-\dfrac{26}{9}$.

5. IPP avec $u(x)=4x$ et $v'(x)=e^{x}$ (donc $u'(x)=4$ et $v(x)=e^{x}$). Une primitive de $f : x\mapsto 4xe^{x}$ est $F : x\mapsto \left(4x-4\right)e^{x}$. Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{-1}^{0}=F(0)-F(-1)=8e^{-1}-4$.