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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégration par parties : x²e^{kx}

Intégration par parties : ∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\displaystyle\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx.

  1. Calculer I=∫01x2ex dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2e^{x}\,dx.

  2. Calculer I=∫01x2e−x dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2e^{-x}\,dx.

  3. Calculer I=∫02x2ex dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}x^2e^{x}\,dx.

  4. Calculer I=∫12x2ex dxI=\displaystyle\int_{1}^{2}x^2e^{x}\,dx.

  5. Calculer I=∫02x2e−x dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}x^2e^{-x}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Intégration par parties : x²e^{kx}

  1. Deux intégrations par parties successives (d'abord avec u(x)=x2u(x)=x^2, puis avec u(x)=xu(x)=x). Une primitive de f:x↦x2exf : x\mapsto x^2e^{x} est F:x↦(x2−2x+2)exF : x\mapsto \left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=e−2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=e-2.

  2. Deux intégrations par parties successives (d'abord avec u(x)=x2u(x)=x^2, puis avec u(x)=xu(x)=x). Une primitive de f:x↦x2e−xf : x\mapsto x^2e^{-x} est F:x↦(−x2−2x−2)e−xF : x\mapsto \left(-x^{2}-2x-2\right)e^{-x}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=−5e−1+2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=-5e^{-1}+2.

  3. Deux intégrations par parties successives (d'abord avec u(x)=x2u(x)=x^2, puis avec u(x)=xu(x)=x). Une primitive de f:x↦x2exf : x\mapsto x^2e^{x} est F:x↦(x2−2x+2)exF : x\mapsto \left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=2e2−2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=2e^{2}-2.

  4. Deux intégrations par parties successives (d'abord avec u(x)=x2u(x)=x^2, puis avec u(x)=xu(x)=x). Une primitive de f:x↦x2exf : x\mapsto x^2e^{x} est F:x↦(x2−2x+2)exF : x\mapsto \left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}. Donc I=[F(x)]12=F(2)−F(1)=2e2−eI=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=2e^{2}-e.

  5. Deux intégrations par parties successives (d'abord avec u(x)=x2u(x)=x^2, puis avec u(x)=xu(x)=x). Une primitive de f:x↦x2e−xf : x\mapsto x^2e^{-x} est F:x↦(−x2−2x−2)e−xF : x\mapsto \left(-x^{2}-2x-2\right)e^{-x}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=−10e−2+2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=-10e^{-2}+2.