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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégration par parties : x sin x et x cos x

Intégration par parties : ∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\displaystyle\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx.

  1. Calculer I=∫0πxsin⁡x dxI=\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx.

  2. Calculer I=∫0π2xcos⁡x dxI=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}x\cos x\,dx.

  3. Calculer I=∫0πxcos⁡x dxI=\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\cos x\,dx.

  4. Calculer I=∫0π2xsin⁡x dxI=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}x\sin x\,dx.

  5. Calculer I=∫0π2xsin⁡(2x) dxI=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}x\sin(2x)\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Intégration par parties : x sin x et x cos x

  1. IPP avec u(x)=xu(x)=x et v′(x)=sin⁡xv'(x)=\sin x (donc v(x)=−cos⁡xv(x)=-\cos x). Une primitive de f:x↦xsin⁡xf : x\mapsto x\sin x est F:x↦sin⁡x−xcos⁡xF : x\mapsto \sin x-x\cos x. Donc I=[F(x)]0π=F(π)−F(0)=πI=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\pi}=F(\pi)-F(0)=\pi.

  2. IPP avec u(x)=xu(x)=x et v′(x)=cos⁡xv'(x)=\cos x (donc v(x)=sin⁡xv(x)=\sin x). Une primitive de f:x↦xcos⁡xf : x\mapsto x\cos x est F:x↦cos⁡x+xsin⁡xF : x\mapsto \cos x+x\sin x. Donc I=[F(x)]0π2=F(π2)−F(0)=12π−1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}=F(\dfrac{\pi}{2})-F(0)=\dfrac{1}{2}\pi-1.

  3. IPP avec u(x)=xu(x)=x et v′(x)=cos⁡xv'(x)=\cos x (donc v(x)=sin⁡xv(x)=\sin x). Une primitive de f:x↦xcos⁡xf : x\mapsto x\cos x est F:x↦cos⁡x+xsin⁡xF : x\mapsto \cos x+x\sin x. Donc I=[F(x)]0π=F(π)−F(0)=−2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\pi}=F(\pi)-F(0)=-2.

  4. IPP avec u(x)=xu(x)=x et v′(x)=sin⁡xv'(x)=\sin x (donc v(x)=−cos⁡xv(x)=-\cos x). Une primitive de f:x↦xsin⁡xf : x\mapsto x\sin x est F:x↦sin⁡x−xcos⁡xF : x\mapsto \sin x-x\cos x. Donc I=[F(x)]0π2=F(π2)−F(0)=1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}=F(\dfrac{\pi}{2})-F(0)=1.

  5. IPP avec u(x)=xu(x)=x et v′(x)=sin⁡(2x)v'(x)=\sin(2x) (donc v(x)=−cos⁡(2x)2v(x)=-\dfrac{\cos(2x)}{2}). Une primitive de f:x↦xsin⁡(2x)f : x\mapsto x\sin(2x) est F:x↦sin⁡(2x)4−xcos⁡(2x)2F : x\mapsto \dfrac{\sin(2x)}{4}-\dfrac{x\cos(2x)}{2}. Donc I=[F(x)]0π2=F(π2)−F(0)=14πI=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}=F(\dfrac{\pi}{2})-F(0)=\dfrac{1}{4}\pi.