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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégration par parties : (px+q)e^{kx}

Intégration par parties : ∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\displaystyle\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx.

  1. Calculer I=∫01xex dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{x}\,dx.

  2. Calculer I=∫01(x+1)e−x dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x+1\right)e^{-x}\,dx.

  3. Calculer I=∫02(2x−1)ex dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(2x-1\right)e^{x}\,dx.

  4. Calculer I=∫013xe−x dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}3xe^{-x}\,dx.

  5. Calculer I=∫12(x−2)ex dxI=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(x-2\right)e^{x}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Intégration par parties : (px+q)e^{kx}

  1. IPP avec u(x)=xu(x)=x et v′(x)=exv'(x)=e^{x} (donc u′(x)=1u'(x)=1 et v(x)=exv(x)=e^{x}). Une primitive de f:x↦xexf : x\mapsto xe^{x} est F:x↦(x−1)exF : x\mapsto \left(x-1\right)e^{x}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=1.

  2. IPP avec u(x)=x+1u(x)=x+1 et v′(x)=e−xv'(x)=e^{-x} (donc u′(x)=1u'(x)=1 et v(x)=−1e−xv(x)=-1e^{-x}). Une primitive de f:x↦(x+1)e−xf : x\mapsto \left(x+1\right)e^{-x} est F:x↦(−x−2)e−xF : x\mapsto \left(-x-2\right)e^{-x}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=−3e−1+2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=-3e^{-1}+2.

  3. IPP avec u(x)=2x−1u(x)=2x-1 et v′(x)=exv'(x)=e^{x} (donc u′(x)=2u'(x)=2 et v(x)=exv(x)=e^{x}). Une primitive de f:x↦(2x−1)exf : x\mapsto \left(2x-1\right)e^{x} est F:x↦(2x−3)exF : x\mapsto \left(2x-3\right)e^{x}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=e2+3I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=e^{2}+3.

  4. IPP avec u(x)=3xu(x)=3x et v′(x)=e−xv'(x)=e^{-x} (donc u′(x)=3u'(x)=3 et v(x)=−1e−xv(x)=-1e^{-x}). Une primitive de f:x↦3xe−xf : x\mapsto 3xe^{-x} est F:x↦(−3x−3)e−xF : x\mapsto \left(-3x-3\right)e^{-x}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=−6e−1+3I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=-6e^{-1}+3.

  5. IPP avec u(x)=x−2u(x)=x-2 et v′(x)=exv'(x)=e^{x} (donc u′(x)=1u'(x)=1 et v(x)=exv(x)=e^{x}). Une primitive de f:x↦(x−2)exf : x\mapsto \left(x-2\right)e^{x} est F:x↦(x−3)exF : x\mapsto \left(x-3\right)e^{x}. Donc I=[F(x)]12=F(2)−F(1)=−e2+2eI=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=-e^{2}+2e.